(①)a可由向量组，a,.,线性表示一线性方程组(*) 有解 (2)a不能由向量4，a2.,线性表示台线性方程组(*) 无解 3.一般地，与%，42，.，xm的关系为下列三种情况之一 (I)可由x,.,n线性表示，且表示法唯一。 (2)a可由og,.,am线性表示，但表示法不唯一。 (3)Q不能由4，.，n线性表示
(3)不能由1 ， , m 线性表示。 (2)可由1 ， , m 线性表示，但表示法不唯一。 (1)可由1 ， , m 线性表示，且表示法唯一。 3.一般地,与1 ,2 , , m 的关系为下列三种情况之一 . (1) , (*) 1 2 有解 可由向量组 n 线性表示 线性方程组 . (2) , (*) 1 2 无解 不能由向量 n 线性表示 线性方程组
例题2判断向量a=(0,4,2)是否是向量组a1=(1,2,3), Q2=(2,3,1),3=(3,1,2)的线性组合？ 解：先假定七1C1+x202+x3C3=a 即 1 2+x3+x, 3 因此 X1+2x2+3x3=0, 2X1+3x2+x3=4, 3x1+x2+2x3=2
1 2 3 1 2 3 0 2 3 1 = 4 3 1 2 2 x x x + + 因此 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 3 0, 2 3 4, 3 2 2. x x x x x x x x x + + = + + = + + = 解：先假定 x x x 1 1 2 2 3 3 + + = 即 (2,3,1), (3,1,2) ? 2 (0,4,2) (1,2,3), 2 3 1 的线性组合 例题 判断向量 是否是向量组 = = = =
由于该线性方程组的系数行列式 123 231: =-18≠0， 312 由克拉默法则知，方程组有唯一的解，可以求出 火1=1，x2=1,X3=-1 于是a可表示为Q=01+02一03
由于该线性方程组的系数行列式 1 2 3 2 3 1 18 0, 3 1 2 = − 由克拉默法则知，方程组有唯一的解，可以求出 1 2 3 x x x = = = − 1, 1, 1 于是可表示为 = + − 1 2 3
二、线性相关和线性无关 1.定义2.3.2 设n维向量组%，2，am,如果存 在不全为0的m个数k1,k2,.,km,使得 k1a1+k202+.+km0am=0 则称向量组a4,2,am线性相关，否则称它们线性 无关 由定义知一个向量组要么线性相关，要么线性无关。 根据定义2.3.2，可以直接得到以下结论：
1.定义2.3.2 设n维向量组1 , 2 ,., m ，如果存 在不全为0 的m 个数k1，k2，. ，km，使得 k11 + k22 + .+ kmm = 0 则称向量组1 ,2 ,.,m 线性相关,否则称它们线性 无关. 二、线性相关和线性无关 由定义知一个向量组要么线性相关，要么线性无关。 根据定义2.3.2，可以直接得到以下结论:
()含有零向量的向量组必线性相关， 2)如果向量组%1,2，nm中有某两个向量a=kCy ()，对应成比例，那么向量组1,2，anm线性 相关； (3)向量组的一个部分组线性相关，那么这向量组线 性相关.其逆否命题是：线性无关向量组的任意一个 部分组也是线性无关的. (4)只有一个向量a的向量组线性相关的充要条件是 0=0;
(4)只有一个向量的向量组线性相关的充要条件是 =0; (2)如果向量组1 ,2 ,.,m中有某两个向量i=kj (i≠j) ，对应成比例，那么向量组1 ,2 ,.,m线性 相关 ; (1)含有零向量的向量组必线性相关. (3)向量组的一个部分组线性相关，那么这向量组线 性相关.其逆否命题是：线性无关向量组的任意一个 部分组也是线性无关的