极坐标变换 x=rc0s,y=rsin6,0≤6≤2π,0≤r<+∞ 是我们十分熟悉的。除原点与正实轴外,它是一一对应的,这时 a(x, y)cos -rsin e a(r, 0) sin e rcos e 例1333计算』smxx2+yddy,其中D=(xy)x2+y2sl D 解引入极坐标变换x=rcosθ,y= rsin e,那么D对应于区域 D={(,0)0≤r≤1,0≤O≤2π}。因此 s sin(a x'+y)drdy=(sin t)a(x, ))(sin tr)rdrde 2兀 = de l sin(r)rdr=2
注严格说来,由于极坐标变换在原点与正实轴上不是一对一的。 在应用变量代换公式时,应该去掉原点与正实轴,也就是说,应该用 以下方法来计算(积分区域如图13.3.5): sin( )dxdy=lir n∫ (Sin r)rdrde E→0 E→ E≤x2+y2≤1 lim de sin( r)rdr=lim(2I-2) sIn Tt/ cos丌r E→0 2丌-E 图13.3.5
这种方法的实质就是,在原积分区域D上挖掉包含非一一对应点 集的小区域,得到区域D,再将被积函数在D上的积分看作在D上的 积分当D趋于D时的极限。在了解这个原理之后,就不必每次都照此 办理,可直接仿照例题中的方法直接计算
例13.3.4求抛物面 和锥面 y2(>0)所围成立 体的体积。 解易求得两曲面的交线在 y平面的投影的方程为 图13.36 y 设D={(x,y)x2+y2≤a2},利用极坐标变换可得所求立体的体积为 x-+ 2a-vx+ dxd drdo d6||2a-r dr=2π|2a-r rdr T 6
图13.3.6