定理的证明放到下一段,现在先来看一看 Jacobi行列式的几何意 义和应用。 (u0,v0) (G) x 图13.3.2 设T,D满足本节开始时的假定,(u0,v)是区域D中的一点,σ是 包含此点的具有分段光滑边界的小区域,并记d(a)为a的直径(见图 13.3.2)
那么由定理133.1和重积分的中值定理,得 a(x m7(o) dudu 0 O(,v) ( 其中(r,s)为a中一点。因此 mT(o)a(x d(o)0 mo a((u,v) 或等价地 m1()~o(x,y mo (d(o a(u, v) (u0,v0) 这说明x的几何意义为面积的比例系数。 (,yv)
例13.3.1计算曲线(x-y)2+x2=a2(a>0)所围区域D的面积。 解作变换x=,x-y=,则曲线方程对应于n2+12=a2 (x-y) 图13.3.3 这个变换将左边的圆盘 对应地映为右边的椭圆区 域D。由于 (x,y)-10 a(l,y)|1 因此D的面积为 0(x dvdy=a2
例133.2求双曲线xy=p,xy=q与直线y=ax,y=bx在第一象限 所围图形的面积,其中q>p>0,b>a>0 P b -aX P 图13.3.4
解在变换x=n,=下,区域D被一一对应地映为 )p≤u≤q,a≤v≤b},这时有 ,y=√m,于是 a(x,y) du, v) 21-2 2v 因此,所求面积为 a(x, y b dudu dudu=i du -dv=i(g-p)Ir