NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 例5.证明lmx3=1 证:VE>0,考虑 X (x-1)(x2+x+1)|=|x-1|·|x2+x+1 因x-x1,故不妨设0<|x-1|<1,即0<x<2 故|x2+x+1|=x2+x+1<4+2+1=7 从而|x31|<7|x-1 OD 高等數粤
lim 1 3 x 1 = → 证明 x 证： > 0, | x 3−1 | = | (x−1)(x 2+x+1) | = | x−1 | | x 2+x+1 | 因x→1, 故不妨设 0 < | x−1 | < 1, 即 0 < x < 2 故 | x 2+x+1 | = x 2+x+1< 4+2+1=7 从而 | x 3−1 | < 7 | x−1 |. 例5. 考虑
NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 要使x3-1<只须7x-1E,即x-17即可 取δ=min(,1), 则当0<-1δ时,(有x-1<1及x-1|7) 有x3-1|<E 故imx3=1 x>I 般 lim x 0 x→>x OD 高等數粤
要使|x 3−1|<, 只须7|x−1|< , 即|x−1| < 即可. 7 取 = min ( , 1 ), 7 则当 0 < |x−1|< 时, (有|x −1|<1及|x−1|< ) 7 有 |x 3−1| < . lim 1. 3 1 = → x x 故 lim . 3 0 3 0 x x x x = → 一般
NAN DA XUE JING PIN KE CHENG VE>0,38>0,当0<x-x0δ时,有 f(x)-aKE,则记limf(x)=a x→x 例6.证明 lim sin x= Sin x x→x 0 证:注意到不等式|sinx≤|x x X-X VE>,W sin x-sin xo =2 cos.sin X-x <2 sin X-X 要使sinx- invoke,只须x-x<E,取=E 则当04x-x0时有|sinx- sin xo ke 故 lim sin x= sIn o x→>x0 OD 高等數粤
例6. 证明 0 lim sin sin 0 x x x x = → 证: 注意到不等式|sinx| | x | >0, | | 2 2 sin 2 sin 2 |sin sin | 2 cos 0 0 0 0 0 x x x x x x x x x x − − − + 因 − = 要使|sinx – sinx0 |< , 只须|x – x0 |< , 0 lim sin sin 0 x x x x = → 故 取 = . 0 | | , |sin sin | . 0 0 则当 x − x 时 有 x − x >0, >0, 当0<|x−x0 |< 时, 有 | f (x) −a |< , lim ( ) . 0 f x a x x = → 则记
NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 类似可证 lim cos x=cosx (本例说明sinx和cosx在x处的极限值 就等于它在x处的函数值。) OD 高等數粤
0 lim cos cos 0 x x x x = → 类似可证 (本例说明sinx和cosx在x0处的极限值 就等于它在x0处的函数值。)
NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 例7.证明inhx=hx0其中x0>0为常数 证:V8>0 要使|lnx-lnx|=h-< 只须-E<hx<E即e<x<c 或,xge<x<xoe 即只须-x(1-e)<x-x0<xo(ea-1) 取δ=mn{x(1-e6),x(e-1),则当0<|x-x<δ时 (有x-x0<<x(-1),-x0(1-e)<-6<x-x0) OD 高等數粤
证明lim ln ln 0, 其中 0 0为常数 0 = → x x x x x 证: > 0 要使 | lnx−lnx0 | ln . 0 = x x ln . 0 − x x 只须 . 0 − e x x e 即 ε 或, x0e - < x < x0e - 即只须 − x0 (1−e - ) < x−x0 < x0 (e −1). 取 =min{x0 (1−e - ), x0 (e −1 )}, 则当0 < | x−x0 | < 时, (有 x−x0 < < x0 (e −1), −x0 (1−e - ) < − < x−x0 ) 例7