NAN DA XUE JING PIN KE CHENG lE>0,36>0,当0<x-x0k6 若比E>0,彐正数数N,使得 ‖时,()-aK,则记 当n>N时,都有na|<E lim f(x=a D=xmi呗 0←I 注1.与数列极限定义比较 将“xnf(m)换成f(x) 将“N换成“δ>0”, 将“m>N换成“0<x-x0-< OD 高等數粤
注1. 与数列极限定义比较: 将“ xn =f (n)”换成f (x), 将“ N”换成“ >0” , 将“ n>N” 换成 “ 0<|x−x0 |< ”. 若 >0, 正数数N, 使得 当n>N 时, 都有|xn−a|<, . a n x lim n = → 则记 >0, >0, 当0<|x−x0 |< 时, | f (x) −a |< , 则记 f x a x x = → lim ( ) 0
NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 这是因为在数列极限中.n->∞.而 “n>N表示了n充分大这一意思 而现在x→>x02“0x-x0<d8表示 了这一意思 OD 高等數粤
而现在 x→ x0 , “ 0<|x−x0 |< ” 表示 了这一意思. 这是因为在数列极限中. n→. 而 “ n>N” 表示了n充分大这一意思
NAN DA XUE JING PIN KE CHENG VE>0,3>0,当0<x-xkδ时, Hf(x)=akE,则记mf(x)=a X→ 注2.定义中“0x-x0<8”.表示x≠x 因此,f(x)在x是否有定义与f(x)在x是否有 极限无关 x→>x0总表示x无限接近x,但x≠x这一意思 例2.设c为常数,则imc=c 0 例3.limx=x x→x OD 高等數粤
注2. 定义中“ 0<|x−x0 |< ”. 表示x x0 . 例2. 设c为常数, 则 c c x x = → 0 lim 例3. 0 0 lim x x x x = → x→ x0总表示x无限接近x0 , 但x x0这一意思. 因此, f (x)在x0是否有定义与f (x)在x0是否有 极限无关. >0, >0, 当0<|x−x0 |< 时, | f (x) −a |< , 则记 f x a x x = → lim ( ) 0
NAN DA XUE JING PIN KE CHENG >0,36>0,当0<x-x6时,有 例4证明mx-1=2|()k,则记lm/(x)=a → D 2 证:VE>0,因|f(x)-2 要使f(x)2}E,只须x-1<E取δ=E 则当0<x-1δ时,有f(x)2|E 故 X (本例说明f(x)在x无定义,但其极限可能存在) OD 高等數粤
2 1 1 lim 2 1 = − − → x x x 例4. 证明 证: >0, 2 | 1| 1 1 | ( ) 2 | 2 − = − − − − = x x x 因 f x 要使|f (x)–2|<, 只须| x –1|<. 2 1 1 lim 2 1 = − − → x x x (本例说明f (x)在x0无定义, 但其极限可能存在) 取 =. 则当0<|x−1|< 时, 有|f (x)–2|< , 故 >0, >0, 当0<|x−x0 |< 时, 有 | f (x) −a |< , lim ( ) . 0 f x a x x = → 则记
NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 看图 x x≠ 2 f(x)= 无定义当x= ox 1xx OD 高等數粤
看图. = + = − − = 1 . 1, 1 , 1 1 ( ) 2 无定义 当 时 当 时 x x x x x f x y 0 x 1 2 x x x y y y=f (x) x→1 1