第二讲 线性方程组直接解法 Gauss消去法和LU分解 2 特殊方程组的求解 3 扰动分析* 4 解的改进* 现代数值分析（数值线性代数），潘建瑜 http://math.ecnu.edu.cn/~jypan
第二讲 线性方程组直接解法 1 Gauss 消去法和 LU 分解 2 特殊方程组的求解 3 扰动分析 ∗ 4 解的改进 ∗ 现代数值分析（数值线性代数）, 潘建瑜 http://math.ecnu.edu.cn/~jypan
线性方程组的求解方法 ●直接法：LU分解，Cholesky分解， ·选代法：定常迭代法（古典迭代法），Krylov子空间迭代法 本讲介绍直接法，即Gauss消去法或LU分解 直接法优点：稳定可靠→在工程界很受欢迎 直接法缺点：运算量大O(3)→不适合大规模稀疏线性方程组 (针对特殊结构矩阵的快速方法除外)
线性方程组的求解方法 • 直接法: LU 分解, Cholesky 分解, ... • 迭代法: 定常迭代法（古典迭代法），Krylov 子空间迭代法 本讲介绍直接法, 即 Gauss 消去法 或 LU 分解 直接法优点: 稳定可靠 → 在工程界很受欢迎 直接法缺点: 运算量大 O(n 3 ) → 不适合大规模稀疏线性方程组 (针对特殊结构矩阵的快速方法除外)
1 秦 Gauss消去法和LU分解 1.1LU分解 1.2LU分解的实现 1.3IK型LU分解 1.4待定系数法计算LU分解 1.5三角方程求解 1.6选主元LU分解 http://math.ecnu.edu.cn/~jypan 3/30
1 Gauss 消去法和 LU 分解 1.1 LU 分解 1.2 LU 分解的实现 1.3 IKJ 型 LU 分解 1.4 待定系数法计算 LU 分解 1.5 三角方程求解 1.6 选主元 LU 分解 http://math.ecnu.edu.cn/~jypan 3/30
秦 1.1U分解 考虑线性方程组 Ax=b (2.1) 其中A∈Rnxn非奇异，b∈Rn为给定的右端项. Gauss消去法本质上就是对系数矩阵A进行LU分解： A=LU (2.2） 其中工是单位下三角矩阵，U为非奇异上三角矩阵。 http://math.ecnu.edu.cn/~jypan 4/30
1.1 LU 分解 考虑线性方程组 Ax = b (2.1) 其中 A ∈ R n×n 非奇异, b ∈ R n 为给定的右端项. Gauss 消去法本质上就是对系数矩阵 A 进行 LU 分解: A = LU (2.2) 其中 L 是单位下三角矩阵, U 为非奇异上三角矩阵. http://math.ecnu.edu.cn/~jypan 4/30
秦 Ly=b, Ax=b→ →只需求解两个三角方程组 Ux=y. 算法1.1 Gauss消去法 1:将A进行LU分解：A=LU; 2:向前回代：求解Ly=b,即得y=L-1b; 3: 向后回代：求解Ux=,即得x=U-1y=(LU)-1b=A-16. http://math.ecnu.edu.cn/~jypan 5/30
Ax = b ⇐⇒ Ly = b, Ux = y. =⇒ 只需求解两个三角方程组 算法 1.1 Gauss 消去法 1: 将 A 进行 LU 分解: A = LU; 2: 向前回代: 求解 Ly = b, 即得 y = L −1 b; 3: 向后回代: 求解 Ux = y, 即得 x = U −1y = (LU) −1 b = A−1 b. http://math.ecnu.edu.cn/~jypan 5/30