10.3关系的逆、合成、限制和象 个关系的逆是男一个关系,两个关系的 合成是第三个关系,求关系的逆与合成都 是构造新关系的方法,也都是关系的运 算
10．3 关系的逆、合成、限制和象 一个关系的逆是另一个关系，两个关系的 合成是第三个关系．求关系的逆与合成都 是构造新关系的方法，也都是关系的运 算．
10.3.)1定义 定义10.3.1对X到Y的关系R,Y到Z的 关系S,定义 (1)R的逆R1为Y到X的关系 R1={<X,y>1<y,X>∈R}, (2)R与S的合成SR为X到乙的关系 SR={<x,y>(12)(<x,z>∈R <,y>∈S)}. 此外,对任意的集合A,还可定义
10．3．1 定义 定义10．3．1 对X到Y的关系R，Y到Z的 关系S，定义 (1)R的逆R-1为Y到X的关系 R-1＝{<x，y>|<y，x>∈R}， (2)R与S的合成SR为X到Z的关系 SR＝{<x，y>|(z)(<x，z>∈R^ <z，y>∈S)}． 此外，对任意的集合A，还可定义
(3)R在A上的限制R↑A为A到Y的关系 R卜A={(xy〉(x,y∈R∧x∈A}, (4)A在R下的象R[A为集合 R[A]=y(×)(X∈A<X,y>∈R)}
(4)A在R下的象R[A]为集合 R[A]＝{y|(x)(x∈A^<x，y>∈R)}．
对R的每个有序对<X,y>,把两个元颠倒得到有 序对<y,x>,这些<y,X>的集 R的关系图中每个有向边的方向颠倒就得到R-1的 关系图 如果在关系R和S中各有一个有序对,使<x, Z>∈R且<z,y>∈S,则<X,y>是关系SR的 元素.而且,S°R包含全部这样的有序对关系 的合成如图10.3.1所示.因为<5,6>∈R且 <6,7>∈S,故<5,7>∈S°R.虽有<1 2>∈R,但不存在Y使<2,y>∈S,故没有y使 <1,y>∈SR也没有x使<x,4>∈SR
对R的每个有序对<x，y>，把两个元颠倒得到有 序对<y，x>，这些<y，x>的集合就是R-1．把 R的关系图中每个有向边的方向颠倒就得到R-1的 关系图． 如果在关系R和S中各有一个有序对，使<x， z>∈R且<z，y>∈S，则<x，y>是关系SR的 元素．而且，SR包含全部这样的有序对．关系 的合成如图10．3．1所示．因为<5，6>∈R且 <6，7>∈S，故<5，7>∈SR．虽有<1， 2>∈R，但不存在y使<2，y>∈S，故没有y使 <1,y>∈SR也没有x使<x,4>∈SR．
X y R 5 R SSaR