10.1.3定义域和值域 ↑定义10.1.4对A到B的一个关系R,可 以定义 (1)R的定义域dom(R)为 dom (r=Xy(XysER)S, (2)R的值域ran(R)为 ran(R=y X(XysER),,,,, (3)R的域fd(R)为 fld(r)=dom(R)U ran(r)
10．1．3 定义域和值域 定义10．1. 4 对A到B的一个关系R，可 以定义 (1)R的定义域dom(R)为 dom(R)={x|(y)(<x,y>∈R)}， (2)R的值域ran(R)为 ran(R)={y|(x)(<x,y>∈R)}， (3)R的域fld(R)为 fld(R)=dom(R)U ran(R)
例5设A={a,b,c},B={b,C,d A到B的关系R={<a,b>,<b,C>, <b,d>} dom(r)=a, b), ran (r)=tb,C, d, fld(r=a, b,C, d]
例5 设A＝{a，b，c}，B＝{b，c，d}， A到B的关系R={<a,b>，<b,c>， <b,d>}，则 dom(R)={a，b}， ran(R)＝{b，c，d}， fld(R)={a，b，c，d}．
◆定理10.1.1对A到B的关系R如果 <Xy>∈R,则X∈UUR,y∈UUR 证明已知<X,y>∈R,即{{x},{X y}∈R.因{x,y}是R的元素的元素,故 X,y∈UR.因x和y是UR的元素的元素, 故X∈UUR,y∈UUR 定理10.1.2对A到B的关系R,贝 fld(r)=UUR
定理10．1．1 对A到B的关系R如果 <x,y>∈R，则x∈UUR，y∈UUR 证明 已知<x,y>∈R，即{{x}，{x， y}}∈R．因{x，y}是R的元素的元素，故 {x，y}∈U R．因x和y是UR的元素的元素， 故x∈UUR,y∈UUR． 定理10．1．2 对A到B的关系R，则 fld(R)=UU R
证明对任意的×,若x∈fd(R), X∈dom(R或x∈ran(R).则存在y,使 <Xy>∈R或<y,X>∈R.这时都有 X∈UUR 对任意的t,若t∈UUR.因为R的元素的形 式是{{x},{x,y}},所以必存在山,使 {{t},{t,u}}∈R 或{{u},{u,t}}∈R.也就是t∈fd(R)
证明 对任意的x，若x∈fld(R)，则 x∈dom(R)或x∈ran(R)．则存在y，使 <x,y>∈R或<y，x>∈R．这时都有 x∈UUR． 对任意的t，若t∈UUR．因为R的元素的形 式是{{x},{x，y}}，所以必存在u，使 {{t},{t，u}}∈R 或{{u},{u，t}}∈R．也就是t∈fld(R)．
10.2关系矩阵和关系图 描述关系的方法有三种:集合表达式、关 系矩阵和关系图,关系的定义使用了集合 表达式,这一节介绍后两种方法,对有限 集合上的关系,采用关系矩阵和关系图的 方法,不仅使分析更加方便,而且有利手 使用计算机处理
10．2 关系矩阵和关系图 描述关系的方法有三种：集合表达式、关 系矩阵和关系图，关系的定义使用了集合 表达式，这一节介绍后两种方法，对有限 集合上的关系，采用关系矩阵和关系图的 方法，不仅使分析更加方便，而且有利于 使用计算机处理