柱函数例 1.计算∫(xdk [xz,(x)=x"Z-1( xIxJ3 (x)]dx=xd[xj2(x) X J2(x) 2x 计算W[J(x)J(x),其中Wyy] W[(x),,(x) W U,(x),J- (x)=U U-v),,(v),1 ()()+,(J,)=-(J)().-J,()=J(,)-J、(
柱函数例 1. 计算 J (x)dx 3 x Z x x Z x dx d ( ) ] ( ) [ +1 = − [ ( )] ( ) 1 x Z x x Z x dx d = − x [x J (x)]dx 3 2 2 − = [ ( )] 2 2 2 x d x J x − = − − = −J x − x J (x)dx 2 1 ( ) 2 1 2 x J x J x 2 ( ) ( ) 1 = − 2 − 2. 计算 W[J (x), J (x)] − ，其中 x x y y y y W y y ' ' [ , '] = x x J J J J ( ) ( ) − − W[J (x), J− (x)] = x x J (J ) J (J ) = − − − W [J (x), J (x)] x − x x x [J (J ) J (J ) ] = − − − x x xx x x xx (J ) (J ) J (J ) (J ) (J ) J (J ) = − + − − − − − xx xx J (J ) J (J ) = − − − 1
原方程:d2R,1dB dx- x dx +(1--2)R=0 )3+(1-2)]+J-[(J)2+(1--2)J WIJ { xWIJ(x),J,(x)}=x:HL,(x),,(x)+W1J(x),J-(x)=0 x WI,(x),J(x)]=C W, (x),J_ (x) X→ co(x-Wz-x/4)()≈-1=3c0x-W7-x/4)+1sn(x-z-/4 cos(x+z-x/4)(,)2≈--cox+-7/4)+1-sm(x+z-/4
( ) (1 ) ] 1 ( ) (1 ) ] [ 1 [ 2 2 2 2 J x J x J J x J x J = − − x + − − + − x + − (1 ) 0 1 2 2 2 2 + + − R = x m dx dR dx x d R xx xx J (J ) J (J ) = − − − [ ( ) ( ) ] 1 x x J J J J x = − − − − [ , ] 1 = − − W J J x x {x W[J (x), J (x)]} − x W [J (x), J (x)] W[J (x), J (x)] x − + − = = 0 x C x W[J (x), J− (x)] = C W[J (x), J − (x)] = cos( / 4) 2 x − − x J sin( / 4)] 2 cos( / 4) 2 2 1 ( ) [ 3 − − − + x − − x x x J x cos( / 4) 2 − x + − x J sin( / 4)] 2 cos( / 4) 2 2 1 ( ) [ 3 − − + − + x + − x x x J x x → 原方程：
WU,(x),J_(x) cos(x-W-/4)-1-3cos(x+-/4 sin(x+VI-/4) coS(x+VIT-T/4 zr 3 cos(x-vII-T/4) sin(x-VT- /41) 2 --[cos(x-Vxz-丌/4)sn(x+vz-m/4)-cos(x+W-m/4)sn(x-w-7/4) 与x的值无关: WI,(x),,(x)=--sin 2v WIm(x),m(x)=0
sin( / 4)]} 2 cos( / 4) 2 2 1 cos( / 4)[ 2 sin( / 4)] 2 cos( / 4) 2 2 1 cos( / 4)[ 2 { [ ( ), ( )] 3 3 − + − − − − − − − = − − − + − − + − − = x x x x x x x x x x x x W J x J x [cos( / 4)sin( / 4) cos( / 4)sin( / 4)] 2 = − x − − x + − − x + − x − − x sin 2 2 [ ( ), ( )] x W J x J − x = − x → W[Jm (x), J−m (x)] = 0 与 x 的值无关：
3.计算rax 2 sin 2. WU,(x),(x)] x(x) ()-J,()x]x x(x) 2sin 2VT DX 丌 2sin 2VIJ,(x) (x) 丌 2sin 2VITJJ,(x)3J+(x 丌 2sin 2VIT J,(x)
3. 计算 ( ) 2 xJ x dx x W J x J x 1 [ ( ), ( )] 2sin 2 − − = − − − = − ( ) [ ( ) ( ) ] ( ) 2sin 2 2 2 J x J J J J dx x J x dx x x ] ( ) ( ) [ 2sin 2 2 − − = − − J x J dJ J x dJ ] ( ) ( ) [ 2sin 2 2 − − = − − J x J dJ J x dJ ] ( ) 2 ( ) ( ) [ 2sin 2 2 − − = − − J x J dJ J x J x
求方程 1-2a L"+ n+(2=x-)2+a=yyp=0的通解 ∠ 设 u== v(z) =C v(2)+2 dz dz 公=a(a-1)2“-2v()+2ah,d2 +2 dz a(a-1)z v(Bz)+2az -1 dy +2 dz 1-2c [cav()+z]+【(B 厶 22+a-小+(B1)+-2 =v=0 [(Bx)2+ lv=0
4. 求方程 ' [( ) ] 0 1 2 '' 2 2 2 2 1 2 = − + + − + − u z u z z u 的通解。 u z v ( z ) 设 = dz dv z v z z dz du = + − ( ) 1 2 2 2 1 2 2 ( 1) ( ) 2 dz d v z dz dv z v z z dz d u = − + + − − [ ( ) ] [( ) ] 0 1 2 ( 1) ( ) 2 2 2 2 2 1 1 2 22 2 1 = − + + + − + − + + + − − − − z v z z dz dv z v z z z dz d v z dz dv z v z z [( ) ] 0 22 2 1 1 2 2 2 = − + + + − − z v z z dz dv z dz d v z [( ) ] 0 22 2 1 2 2 2 = − + + + − v z z zdz dv dz d v