§2.1导数概念 、引例 导数的定义 三、导数的几何意义 四、函数的可导性与连续性的关系 自
一、引例 二、导数的定义 三、导数的几何意义 四、函数的可导性与连续性的关系 §2.1 导数概念 首页 上页 返回 下页 结束 铃
、引例 1.直线运动的速度 引例一】变速直线运动物体的速度 设质点沿直线运动,在直线上引入原点和单位长度 使直线成为数铺,取一个时刻作为测量时间的零时间 t=0 t=to t=t 5=f(0) 设动点于时刻在直线上所处的位置为s,于是s=f(t), 称此函数为位置函数。该如何定义动点在某一时刻的 瞬时速度呢? 返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 一、引例 设动点于时刻在直线上所处的位置为s，于是s=f(t)， 称此函数为位置函数。该如何定义动点在某一时刻的 瞬时速度呢? 1.直线运动的速度 下页
2.切线问题 求曲线y=(x)在点Mx02y)处的切线的斜率 在曲线上另取一点N(x0+Ax,y+△y),作割线MN, 设其倾角为.观察切线的形成 当Ax->0时,动点N将沿曲线趋向于定点M,从而割线 MN也将随之变动而趋向于切线MT 此时割线MN的斜率趋向 y- 于切线M的斜率: tana= lim tang- lim △x0△x CM imnf(x+△x)/(x) DC △x>0 △ Do 画演示首 返回 下页 结束
首页 上页 返回 下页 结束 铃 求曲线y=f(x)在点M(x0 y0 )处的切线的斜率 在曲线上另取一点N(x0+x y0+y) 作割线MN 设其倾角为j 观察切线的形成 2.切线问题 当x→0时 动点N将沿曲线趋向于定点M 从而割线 MN也将随之变动而趋向于切线MT 此时割线MN的斜率趋向 于切线MT的斜率 动画演示 x y x x = = →0 →0 tan lim tanj lim x f x x f x x + − = → ( ) ( ) lim 0 0 0 首页
二、导数的定义 函数在一点处的导数与导函数 导数的定义 设函数y=f(x)在点x0的某个邻域内有定义.如果极限 lim Ay= lim f(xo+Ax)-1(o) △x>0△x△x→>0 △x 存在,则称函数x)在点x处可导,并称此极限值为函数 f(x)在点x处的导数,记为f(xo),即 f(o)=lim 4y f(x0+△x)-f(x0) Im △x→>0△x△x->0 如果上述极限不存在,则称函数(x)在点x处不可导 返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 x f x x f x x y f x x x + − = = → → ( ) ( ) ( ) lim lim 0 0 0 0 0 二、导数的定义 存在 则称函数f(x)在点x0处可导 并称此极限值为函数 f(x)在点x0处的导数 记为f (x0 ) 即 x f x x f x x y f x x x + − = = → → ( ) ( ) ( ) lim lim 0 0 0 0 0 下页 设函数y=f(x)在点 x0的某个邻域内有定义 如果极限 ❖导数的定义 1.函数在一点处的导数与导函数 如果上述极限不存在 则称函数f(x)在点x0处不可导
导数的定义式 f(x0)=lin△y f(x+△x)-f(x0) △x→0△xAx->0 导数的其它符号 或 df(x) dx dx 导数的其它定义式 f(x、_1f(+h)-f(x) h→>0 h f(xo= lim /(x)-/(1-o) >x0 X-X 返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 •导数的其它符号 下页 •导数的其它定义式 h f x h f x f x h ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 + − = → 0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim 0 x x f x f x f x x x − − = → 0 | x x y = 0 dx x x dy = 或 0 ( ) dx x x df x = 导数的定义式: x f x x f x x y f x x x + − = = → → ( ) ( ) ( ) lim lim 0 0 0 0 0