《泛函分析》第八讲延拓定理3
《泛函分析》 第八讲 延拓定理
复空间上任一复线性泛函f(x），不妨设f(x)f(x)+fx），其中f,f2分布为f的实部和虚部由if(x)=if(x)-f(x)f(x)=f(ix)=f(ix)+if(ix)从而fz(x) =-fi(ix),f(x)= f(x)-if(ix)注：对于实线性泛函f ，一般来说,f(ix)≠f(x)
复空间上任一复线性泛函 ，不妨设 ，其中 分布为 的实部和虚部. f x( ) f x( ) 1 2 = + f x if x ( ) ( ) 1 2 f f , f 由 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ). if x if x f x if x f ix f ix if ix = − = = + 从而 2 1 1 1 ( ) ( ), ( ) ( ) ( ). f x f ix f x f x if ix = − = − 注：对于实线性泛函 f 1 ，一般来说， 1 1 f ix if x ( ) ( ).
定理2设X为复线性空间，MCX为线性子空间，P是X上的半范数，若fo是M上的复线性泛函，并且f(x)≤p(x)(VxEM)，则存在X上的线性泛函F，使得[F(x)/ ≤ p(x)(Vx E X), F(x) = fo(x)(Vx E M)证明: 在 M上，设 f(x)=J(x)-ifi(ix)，由假设f(x)≤ f(x)/≤ fo(x)/≤ p(x),(Vx EM)
定理2 证明： 设 为复线性空间， 为线性子空间， 是 上的半范数，若 是 上的复线性泛函， 并且 ，则存在 上的线 性泛函 ，使得 X p 0 f 0 F x p x x X F x f x x M ( ) ( )( ), ( ) ( )( ). = M X X M 0 f x p x x M ( ) ( )( ) X F 在 上，设 ，由假设 1 1 0 f x f x f x p x x M ( ) ( ) ( ) ( ),( ), 0 1 1 M f x f x if ix ( ) ( ) ( ) = −
由定理1,X上存在实线性泛函F(x)，使得F(x)≤ p(x),(Vx E X),F(x) = f(x)(Vx e M)考虑复线性泛函 F(x)=F(x)-iF(ix).则对Vx,yEX,F(x+y)= F(x+y)-iF(ix +iy)=F(x) + F(y)-iF(ix)-iF(iy)= F(x)+F(y)
由定理1， 上存在实线性泛函 ，使得 1 1 1 F x p x x X F x f x x M ( ) ( ),( ), ( ) ( )( ). = X 1 F x( ) 考虑复线性泛函 则对 x y X , , 1 1 F x F x iF ix ( ) ( ) ( ). = − 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). F x y F x y iF ix iy F x F y iF ix iF iy F x F y + = + − + = + − − = +
若α为实数，F(αx) = F(αx)-iF(αx)=αF(x)-αiF(x)=αF(x)此外F(ix) = F(ix)-iF(-x)=i(F(x)-iF(ix))=iF(x)由此，对于任意复数α,β与任意x,VEXF(αx +βy) =αF(x)+βF(y)
若 为实数， 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). F x F x iF x F x iF x F x = − = − = 此外 ( ) 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). F ix F ix iF x i F x iF ix iF x = − − = − = 由此，对于任意复数 , 与任意 x y X , , F x y F x F y ( ) ( ) ( ), + = +