《泛函分析》第二讲有限维空间
《泛函分析》 第二讲 有限维空间
定义1设X，Y是线性赋范空问间，若存在T：X→Y是一一的到上的线性映射，使得T与T-1都连续，则称X，Y同构，其中T称是从X到Y的同构映射
定义1 设 是线性赋范空间，若存在 是一 一的到上的线性映射，使得 与 都连续， 则称 同构，其中 称是从 到 的同构 映射. X Y, T X Y : → T 1 T − X Y, T X Y
定理1设X,Y是线性赋范空间，T：X→Y是到上的线性映射，则T是X到Y上的同构当且仅当存在正数a,b使得对于任何xeX,alx/ ≤[/Txl ≤blxll 设X与Y同构，当一个是完备空间时，另一个也是充分性.证明：若对于任意的xEX所说的不等式成立，则 当 Tx = Tx2 时,a|x - x2l|≤[T( - x2) = 0从而X=X2，T是一一的
定理1 证明： 充分性. 设 是线性赋范空间， 是到上 的线性映射，则 是 到 上的同构当且 仅当存在正数 使得对于任何 X Y, T X Y : → T X Y a b , x X , a x Tx b x . 设 X 与 Y 同构,当一个是完备空间时,另一个也是. 若对于任意的 所说的不等式成立， 则当 时， x X Tx Tx 1 2 = 1 2 1 2 a x x T x x − − = ( ) 0, 从而 x x 1 2 = ，T 是一一的
若 xn,xeX,xn →x,则Tx,→>Tx,Txn-Txl≤bxn -xl→>0,T是连续的.若 yn,yEY,yn→y,不妨设 yn=Txn,y=Yx,则a|T-'yn -T-Ix= alxn -xll≤[Txn-Tx=[yn-ll→0 (n→),于是 T-'y,→T-'y, T-l 连续. 总之X, 同构
若 x x X x x n n , , , → 则 0, Tx Tx b x x n n − − → T 是连续的. 若 y y Y y y n n , , , → 不妨设 y Tx y Yx n n = = , , 则 1 1 a T y T x a x x n n − − − = − 于是 连续. 1 1 , T y T y n − − → 1 T − 总之 X Y, 同构. 0 ( ), − = − → → Tx Tx y y n n n , Tx Tx n →
必要性设T是从X到Y上的同构映射，若不存在b>O使得ITxl≤bllxll (VxEX),此时对于任意的 n，有xn EX,Txnll > nllxnll，令xx, =Inx,ll则 Ix=→0,从而 x, →>0(n →>0)
必要性. Tx b x x X ( ), , Tx n x n n 令 , n n n x x n x = 则 1 0, xn n = → 从而 0( ). x n n → → 设 T 是从 X 到 Y 上的同构映射，若不存在 b 0 使得 此时对于任意的 ，有 , n x X n