河南师范大学：《泛函分析》课程教学资源（PPT课件）第十讲 共轭算子与紧算子

《泛函分析》第十讲共轭算子与紧算子

《泛函分析》 第十讲 共轭算子与紧算子

定义1设X,Y为线性赋范空问，X*Y*分别为X,Y的共轭空间，,T E B(X,Y). 若线性算子T*:Y*→X*满足(T*y*)(x) = y*(Tx), Vx E X, J* E Y*则称T*是T的共轭算子.我们有时记f(x)=（f,x)，则上式可写成(T*y*,x) =(y*,Tx), Vx EX, y* E Y*

定义1 设 为线性赋范空间， 分别为 的共 轭空间， . 若线性算子 满 足 则称 是 的共轭算子. X Y, T B X Y  ( , ) ( )( ) ( ), , . T y x y Tx x X y Y      =    X Y,  T Y X :    → X Y, T  T 我们有时记 f x f x ( ) ( , ) = ，则上式可写成 ( , ) ( , ), , . T y x y Tx x X y Y      =   

例1设T:Φn>Φm为有界线性算子，e,,en 是D"的一组基，令Yh = span[ei,.,ek-1,ek+1,·",en]则Y是闭子空间，ek生Yk由Hahn-Banach定理的推论，存在fk E(Φ")*f(ek)=pek,Y)≠0.必要时，乘上一个不为0的常数，可设f(ek)=l，对于其余的e,fi(e)=0即fi·fn满足

例1 设 为有界线性算子， 是 的一组基，令 则 是闭子空间， : n m T  →  1 , , n e e n  Y span e e e e k k k n =  1 1 1 , , , , , , − +  Yk . k k e Y  由Hahn-Banach定理的推论，存在 必要时，乘上一个不为0的 常数，可设 ，对于其余的 即 f f 1 , , n 满足 f e k k ( ) 1 = , ( ) 0. i k i e f e = ( ) , n k f    ( ) ( , ) 0. k k k k f e e Y =  

1,k=i,fi(e,)= Ou= {o,k≠i.称fi,..,f,为(")*关于 ei,..,en 的对偶基类似地，若u，um是Φm的一组基，则存在g1,,gm为(dDm)*关 于i,,um 的对偶基

1, , ( ) 0, . k i ki k i f e k i   = = =    称 为 关于 e e 1 , , n 的对偶基. 1 , , n f f ( )n   类似地，若 是 的一组基，则存在 为 关 于 的对偶基. 1 , ,   m m  1 , , g gm ( ) m   1 , ,   m

现在设T在基底ei.en与u,.,um之下相应的矩阵为(αi,). 即Te, = aiμk,(i = 1,..,n).k-1若 T*:(")*→(Φ")* 是 T 的共轭算子， T*与(b,)相应, 即 T"g,=≥bkJe,(j=1,.,m),.k=l则根据共轭算子定义，应有(T*gj,e)=(g,Te,),(1≤i≤n,1≤ j≤m)

现在设 在基底 与 之下相 应的矩阵为 . 即 T 1 ,( 1, , ). m i ik k k Te a i n  = = =  ( ) aij 1 , , 1   m , , n e e 若 是 的共轭算子， 与 相应，即 : ( ) ( ) m n T     →  T T  ( ) bij 1 ,( 1, , ). n j jk k k T g b f j m  = = =  则根据共轭算子定义，应有 (T g e g Te i n j m j i j i , ( , ),(1 ,1 ). )  =    