线性代数:+a2nx=b122X2再考虑方程组(4)a'2x, +...+asnx, = b显然，方程组(4)的一个解代入方程组(3)就得出(3)的一个解；而方程组(3)的解都是方程组(4)有解即，方程组(3)有解当且仅当方程组(4)有解。而(1)与(3)是同解的，因此方程组(1)有解当且仅当 (4)有解。对方程组(4)重复上面的讨论，并且一步步作下去最后就得到一个阶梯形方程组
再考虑方程组 (4) 22 2 2 2 2 2 n n s sn n s a x a x b a x a x b + + = + + = 即，方程组(3)有解当且仅当方程组(4)有解。 (3)是同解的，因此方程组(1)有解当且仅当 (4)有解． 对方程组(4)重复上面的讨论，并且一步步作下去， 最后就得到一个阶梯形方程组. 的一个解；而方程组(3)的解都是方程组(4)有解。 显然，方程组(4)的一个解代入方程组(3)就得出(3) 而(1)与
线性代数为了讨论的方便，不妨设所得的阶梯形方程组为CuX +Ci2X, +... +CirX, +... + CinXn = dC22X2 +...+C2rX, + ...+C2nx, = d,Crx,+..+crx,=d(5)0"= dr+10=00=0其中 ;≠0,i=1,2,..,r.方程组(5)中的“0 = 0”这样一些恒等式可能不出现也可能出现，这时去掉它们不影响(5)的解而且(1)与(5)是同解的
这时去掉它们不影响(5)的解． (5) 11 1 12 2 1 1 1 22 2 2 2 2 1 0 0 0 0 0 r r n n r r n n rr r rn n r r c x c x c x c x d c x c x c x d c x c x d d + + + + + + = + + + + = + + = = = = 其中 0, 1,2, , . ii c i r = 方程组(5)中的“０＝０”这样一些恒等式可能不出现 而且(1)与(5)是同解的． 也可能出现， 为了讨论的方便，不妨设所得的阶梯形方程组为
维性代数考察方程组的解的情况：1 °dr+1 ±0 时，方程组(5)无解，从而(1)无解。2 ° dr+1=0 时，方程组(5)有解，从而(1)有解;此时去掉“0=0”的方程两种情况i）若r=n．这时阶梯形方程组为CuiXi + Ci2X2 +... +Cinxn = dC22X, + ..+ C2nx, = d,(6)Cnnn =d.其中 Cu≠0,i= 2,...,n由Cramer法则，此时(6)有唯一解，从而(1)有唯一解
考察方程组的解的情况: 由Cramer法则，此时(6)有唯一解，从而(1)有唯一解． r n = (6) 11 1 12 2 1 1 22 2 2 2 n n n n nn n n c x c x c x d c x c x d c x d + + + = + + = = i) 若 r n = ．这时阶梯形方程组为 其中 0, 2, , . ii c i n = ２° dr+1 = 0 时，方程组(5)有解，从而(1)有解， 1 0 r d １° + 时，方程组(5)无解，从而(1)无解． 此时去掉 “０＝０” 的方程．分两种情况：
线性代数i）若r<n，这时阶梯形方程组可化为CuX, + C2X, + .. +CirX, = d, - Ci,r+1Xr+1 -...-CinXnC22X, + ... + C2rX, = d, - C2,r+1Xr+1 --C2nXn (7)CmX, = d, -Cr,r+1Xr+1 -...-CrnXni=2,..,r.其中 Ci≠0,此时方程组(7)有无穷多个解，从而(1)有无穷多个解事实上，任意给xr+1,,xn一组值，由(7)就唯一地定出的 x,,x,一组值
此时方程组(7)有无穷多个解，从而(1)有无穷多个解. (7) 11 1 12 2 1 1 1, 1 1 1 22 2 2 2 2, 1 1 2 , 1 1 r r r r n n r r r r n n rr r r r r r rn n c x c x c x d c x c x c x c x d c x c x c x d c x c x + + + + + + + + + = − − − + + = − − − = − − − ii) 若 r n ，这时阶梯形方程组可化为 其中 0, 2, , . ii c i r = 事实上，任意给 x x r n +1 , , 一组值，由(7)就唯一 地定出的 x x 1 , , r 一组值．