第五讲对称特征值问题设AERnxn是对称矩阵.在计算A的特征值和特征值向量时，我们可以充分利用A的对称结构，一方面尽可能地减少运算量，另一方面也能构造出更加快速高效的算法，本讲主要介绍以下方法·Jacobi选代法：较古老的方法，收敛速度较慢，但能达到很高的计算精度，且非常适合并行·Rayleigh商选代法：利用Rayleigh商作为动态位移的反选代算法，一般具有全局线性收敛和局部三次收敛性·对称QR选代法：针对对称矩阵的带位移隐式QR送代算法如果只需计算一个对称三对角矩阵的所有特征值，则该算法是目前最快的方法，运算量为（n2).如果需要计算所有的特征值和特征向量，则运算量约为6n3分而治之法：同时计算对称矩阵的特征值和特征向量的一种快速算法.基本思想是将大矩阵分解成小矩阵，然后利用递归思想求解，是目前求解对称矩阵的所有特征值和特征向量的最快方法之一·对分法和反选代法：对分法主要用于求解对称矩阵在某个区间中的特征值，反送代法用于计算特征向量除了Jacobi选代和Rayleigh商代外,其余算法都需要先将对称矩阵三对角化.这个过程大约需花费n3的工作量，如果需要计算特征向量的话，则总运算量约为5.1Jacobi送代法该算法的基本思想是通过一系列的Jacobi旋转Js，将A正交相似于一个对角矩阵，即A(O) = A,A(h+1)= JkA(k)JT,k=0,1,...)且A()收敛到一个对角矩阵，其中Js为Jacobi旋转，通常选取J为Givens变换，即1cos OksinOkJh = G(ik, Jk, Ou) =cosOk sin Ok1157
第五讲 对称特征值问题 设 A ∈ R n×n 是对称矩阵. 在计算 A 的特征值和特征值向量时, 我们可以充分利用 A 的对称 结构, 一方面尽可能地减少运算量, 另一方面也能构造出更加快速高效的算法. 本讲主要介绍以下方法. • Jacobi 迭代法: 较古老的方法, 收敛速度较慢, 但能达到很高的计算精度, 且非常适合并行. • Rayleigh 商迭代法: 利用 Rayleigh 商作为动态位移的反迭代算法, 一般具有全局线性收敛和 局部三次收敛性. • 对称 QR 迭代法: 针对对称矩阵的带位移隐式 QR 迭代算法. 如果只需计算一个对称三对角 矩阵的所有特征值, 则该算法是目前最快的方法, 运算量为 O(n 2 ). 如果需要计算所有的特征 值和特征向量, 则运算量约为 6n 3 . • 分而治之法: 同时计算对称矩阵的特征值和特征向量的一种快速算法. 基本思想是将大矩阵 分解成小矩阵, 然后利用递归思想求解, 是目前求解对称矩阵的所有特征值和特征向量的最 快方法之一. • 对分法和反迭代法: 对分法主要用于求解对称矩阵在某个区间中的特征值, 反迭代法用于计 算特征向量. b 除了 Jacobi 迭代和 Rayleigh 商迭代外, 其余算法都需要先将对称矩阵三对角化. 这个过程大 约需花费 4 3 n 3 的工作量, 如果需要计算特征向量的话, 则总运算量约为 8 3 n 3 . 5.1 Jacobi 迭代法 该算法的基本思想是通过一系列的 Jacobi 旋转 Jk, 将 A 正交相似于一个对角矩阵, 即 A (0) = A, A(k+1) = JkA (k)J T k , k = 0, 1, . . . , 且 A(k) 收敛到一个对角矩阵, 其中 Jk 为 Jacobi 旋转, 通常选取 Jk 为 Givens 变换, 即 Jk = G(ik, jk, θk) = 1 . . . 1 cos θk sin θk . . . − sin θk cos θk 1 . . . 1 157
-158第五讲对称特征值问题易知,在A()两边分别左乘J和右乘T时，只会修改A(K)的第i和第行,以及第i和第j列.由于A()是对称矩阵，由下面的引理可知,通过选取适当的k,可以将A()(i,jk)和A()(jki）同时化为0.引理5.1设AER2x2是对称矩阵，则存在Givens变换GER2×2,使得GAGT为对角矩阵(板书)证明.设cosOsinesindhFOS则COsasineCos 6sinGAGTsin0sinocosOcosO/acos?+csin?+bsin20(c-a)sin 20 + b cos 20asin20+ccos9-bsin20(c-a)sin 20+bcos20令（c-a)sin20+bcos20=0,可得1 - tan? 0a-c=cot20262tan解得sign(←)tang:26I/ + V1++2口故引理结论成立为了使得A()收敛到一个对角矩阵，其非对角线元素必须趋向于0.记of(A)为所有非对角线元素的平方和,即Aaoff(A) =α, = IIAl=1讲我们的目标就是使得off(A）尽快趋于0
· 158 · 第五讲 对称特征值问题 易知, 在 A(k) 两边分别左乘 Jk 和右乘 J T k 时, 只会修改 A(k) 的第 ik 和第 jk 行, 以及第 ik 和第 jk 列. 由于 A(k) 是对称矩阵, 由下面的引理可知, 通过选取适当的 θk, 可以将 A(k) (ik, jk) 和 A(k) (jk, ik) 同时化为 0. 引理 5.1 设 A ∈ R 2×2 是对称矩阵, 则存在 Givens 变换 G ∈ R 2×2 , 使得 GAGT 为对角矩阵. (板书) 证明. 设 A = " a b b c# , G = " cos θ sin θ − sin θ cos θ # , 则 GAGT = " cos θ sin θ − sin θ cos θ # " a b b c# " cos θ sin θ − sin θ cos θ #T = " a cos2 θ + c sin2 θ + b sin 2θ 1 2 (c − a)sin 2θ + b cos 2θ 1 2 (c − a)sin 2θ + b cos 2θ a sin2 θ + c cos2 θ − b sin 2θ # 令 1 2 (c − a)sin 2θ + b cos 2θ = 0, 可得 a − c 2b = cot 2θ = 1 − tan2 θ 2 tan θ . 解得 tan θ = sign(τ ) |τ | + √ 1 + τ 2 , τ = a − c 2b . 故引理结论成立. □ 为了使得 A(k) 收敛到一个对角矩阵, 其非对角线元素必须趋向于 0. 记 off(A) 为所有非对角 线元素的平方和, 即 off(A) = X i̸=j a 2 ij = ∥A∥ 2 F − Xn i=1 a 2 ii , 我们的目标就是使得 off(A) 尽快趋于 0
5.1Jacobi送代法·159.引理5.2设A=[ai] eRnxn是对称矩阵,A=[ai]=JAJT,J=G(i,j,0),其中 a的选取使得ai=aj=0,则off(A)=off(A)-2az，i≠j.(板书)证明.记A=[a1,a2,...,an].令A=JA=[ai]nxn.由于J是正交阵，故IJakll2 = akl|2, k = 1,2,..., n.又J左乘ak时，只影响其第i和第个元素的值，故由Jai2=aill2和Jai2=aill2可得最+=喵+哦，喝+哆=喝+喝(5.1)同理，由A=AJT可得+=+，+=+(5.2)又a=a=0故+=++喝+=喵++2由于JAJT只影响A的第ii行和第i,列,故对角线元素中只有au和aii受影响.所以Zaix =ai + 2dig,=1k=1故= AI-off(A) = IIA Zak-2a,= off(A)- 2aj-k=1k=1口即引理结论成立.由此可知，off(A()）总是不断减小的.下面给出Jacobi选代算法算法5.1.Jacobi选代算法1: Given a symmetric matrix Ae IRnxn2: if eigenvectors are desired then3:set J = I and flag = 14:endif5: while not converge dochoose an index pair (i, i) such that aij + 06:7:T = (a-ajs)/(2ai)t = sign()/(I| + V1+T2)% 计算 tan g8:c=1/V1+t,s=ct%计算cosの和sine9:A = G(i, j, 0)AG(i,j,0)T10:11:if flag = 1 then12:J=G(i,j,0)J
5.1 Jacobi 迭代法 · 159 · 引理 5.2 设 A = [aij ] ∈ R n×n 是对称矩阵, Aˆ = [ˆaij ] = JAJT, J = G(i, j, θ), 其中 θ 的选取使 得 aˆij = ˆaji = 0, 则 off(Aˆ) = off(A) − 2a 2 ij , i ̸= j. (板书) 证明. 记 A = [a1, a2, . . . , an]. 令 A˜ = JA = [˜aij ]n×n. 由于 J 是正交阵, 故 ∥Jak∥2 = ∥ak∥2, k = 1, 2, . . . , n. 又 J 左乘 ak 时, 只影响其第 i 和第 j 个元素的值, 故由 ∥Jai∥2 = ∥ai∥2 和 ∥Jaj∥2 = ∥aj∥2 可得 a˜ 2 ii + ˜a 2 ji = a 2 ii + a 2 ji, a˜ 2 ij + ˜a 2 jj = a 2 ij + a 2 jj . (5.1) 同理, 由 Aˆ = AJ˜ T 可得 aˆ 2 ii + ˆa 2 ij = ˜a 2 ii + ˜a 2 ij , aˆ 2 ji + ˆa 2 jj = ˜a 2 ji + ˜a 2 jj . (5.2) 又 aˆij = ˆaji = 0, 故 aˆ 2 ii + ˆa 2 jj = a 2 ii + a 2 jj + a 2 ij + a 2 ji = a 2 ii + a 2 jj + 2a 2 ij . 由于 JAJT 只影响 A 的第 i, j 行和第 i, j 列, 故对角线元素中只有 aii 和 ajj 受影响. 所以 Xn k=1 aˆ 2 kk = Xn k=1 a 2 kk + 2a 2 ij , 故 off(Aˆ) = ∥Aˆ∥ 2 2 − Xn k=1 aˆ 2 kk = ∥A∥ 2 2 − Xn k=1 a 2 kk − 2a 2 ij = off(A) − 2a 2 ij , 即引理结论成立. □ 由此可知, off(A(k) ) 总是不断减小的. 下面给出 Jacobi 迭代算法. 算法 5.1. Jacobi 迭代算法 1: Given a symmetric matrix A ∈ R n×n 2: if eigenvectors are desired then 3: set J = I and flag = 1 4: end if 5: while not converge do 6: choose an index pair (i, j) such that aij ̸= 0 7: τ = (aii − ajj )/(2aij ) 8: t = sign(τ )/(|τ | + √ 1 + τ 2) % 计算 tan θ 9: c = 1/√ 1 + t 2, s = ct % 计算 cos θ 和 sin θ 10: A = G(i, j, θ)AG(i, j, θ) T 11: if flag = 1 then 12: J = G(i, j, θ)J
-160.第五讲对称特征值问题end if13:14:end while该算法涉及到ai的选取问题，一种直观的选取方法就是使得ai为所有非对角线元素中绝对值最大的一个，这就是经典Jacobi选代算法算法5.2.经典Jacobi选代算法1: Given a symmetric matrix Ae IRnxn2: if eigenvectors are desired thenset J = I and flag = 13:4: end if5: while off(A)> tol do6:choose (i, j) such that [ail = maxk# [al%选取绝对值最大的元素7:T= (an -aji)/(2ai)8:t = sign(↑)/(I| + V1+ ↑2)9:c=1/V1+t2,s=ct%计算cos0和sine10:A = G(i,j, 0)AG(i, j, 0)T11:if flag =1 then12:J=G(i,j,O)J13:end if14: end while可以证明，经典Jacobi算法至少是线性收敛的定理5.3对于经典Jacobi算法5.2,有)of(A(), N= n(n -1)of(A(t+1)≤ (1- 1)故k步选代后，有of(4()≤ (1-) of(A()=(1-) (4),(板书)证明.由于在经典Jacobi算法 5.2中,[ail=maxk+ilaxil,故 off(A()≤n(n+1)(a)),即2()≥f(4(), N=n(n_1),2所以由引理5.2可知of(A(+1) =of(A() - ()~≤(1-) of(A()口事实上，经典Jacobi算法最终是（渐进）二次收敛的[30，100]
· 160 · 第五讲 对称特征值问题 13: end if 14: end while 该算法涉及到 aij 的选取问题, 一种直观的选取方法就是使得 aij 为所有非对角线元素中绝 对值最大的一个, 这就是经典 Jacobi 迭代算法. 算法 5.2. 经典 Jacobi 迭代算法 1: Given a symmetric matrix A ∈ R n×n 2: if eigenvectors are desired then 3: set J = I and flag = 1 4: end if 5: while off(A)> tol do 6: choose (i, j) such that |aij | = maxk̸=l |akl| % 选取绝对值最大的元素 7: τ = (aii − ajj )/(2aij ) 8: t = sign(τ )/(|τ | + √ 1 + τ 2) 9: c = 1/√ 1 + t 2, s = ct % 计算 cos θ 和 sin θ 10: A = G(i, j, θ)AG(i, j, θ) T 11: if flag = 1 then 12: J = G(i, j, θ)J 13: end if 14: end while 可以证明, 经典 Jacobi 算法至少是线性收敛的. 定理 5.3 对于经典 Jacobi 算法 5.2, 有 off(A (k+1)) ≤ 1 − 1 N off(A (k) ), N = n(n − 1) 2 . 故 k 步迭代后, 有 off(A (k) ) ≤ 1 − 1 N k off(A (0)) = 1 − 1 N k off(A). (板书) 证明. 由于在经典 Jacobi 算法 5.2 中, |aij | = maxk̸=l |akl|, 故 off(A(k) ) ≤ n(n + 1) a (k) ij 2 , 即 2 a (k) ij 2 ≥ 1 N off(A (k) ), N = n(n − 1) 2 . 所以由引理 5.2 可知 off(A (k+1)) = off(A (k) ) − a (k) ij 2 ≤ 1 − 1 N off(A (k) ). □ 事实上, 经典 Jacobi 算法最终是 (渐进) 二次收敛的 [30, 100]
5.1Jacobi选代法+ 161 .定理5.4经典Jacobi算法5.2是N步（渐进)二次收敛的，即对足够大的k，有off(A(k+N) = O(ff(A())由于在经典Jacobi算法中，每一步都要寻找绝对值最大的非对角元，比较费时，因此实用性较差.我们可以通过逐行扫描来选取（i，i），这就是循环Jacobi选代算法算法5.3.循环Jacobi选代算法（逐行扫描）1:Given a symmetric matrixAeIRnxn2: if eigenvectors are desired then3:set J = I and flag = 14:end if5: while off(A)> tol do6:for i = 1 to n -1 do7:for j - i+ 1 to n doif aij≠0then9:T= (ai -aj)/(2ag)10:t = sign()/(l/ + V1 +T2)c= 1/V1+ t211:12:s=c-t13:A = G(i,j, 0)TAG(i,j, 0)14:if flag = 1 then15:J=J.G(i,j,0)16:end ifendif17:18:endfor19:end for20:endwhile循环Jacobi也具有（渐进)二次收敛性[135,page270].Jacobi选代法的优缺点·优点：能够达到很高的计算精度（特别是小特征值）；同时非常适合并行计算·缺点：计算速度较慢；矩阵稀疏性得不到充分的利用
5.1 Jacobi 迭代法 · 161 · 定理 5.4 经典 Jacobi 算法 5.2 是 N 步 (渐进) 二次收敛的, 即对足够大的 k, 有 off A (k+N) = O off2 A (k) . 由于在经典 Jacobi 算法中, 每一步都要寻找绝对值最大的非对角元, 比较费时, 因此实用性较 差. 我们可以通过逐行扫描来选取 (i, j), 这就是循环 Jacobi 迭代算法. 算法 5.3. 循环 Jacobi 迭代算法 (逐行扫描) 1: Given a symmetric matrix A ∈ R n×n 2: if eigenvectors are desired then 3: set J = I and flag = 1 4: end if 5: while off(A)> tol do 6: for i = 1 to n − 1 do 7: for j = i + 1 to n do 8: if aij ̸= 0 then 9: τ = (aii − ajj )/(2aij ) 10: t = sign(τ )/(|τ | + √ 1 + τ 2) 11: c = 1/√ 1 + t 2 12: s = c · t 13: A = G(i, j, θ) TAG(i, j, θ) 14: if flag = 1 then 15: J = J · G(i, j, θ) 16: end if 17: end if 18: end for 19: end for 20: end while 循环 Jacobi 也具有 (渐进) 二次收敛性 [135, page 270]. Jacobi 迭代法的优缺点 • 优点: 能够达到很高的计算精度 (特别是小特征值); 同时非常适合并行计算. • 缺点: 计算速度较慢; 矩阵稀疏性得不到充分的利用