第八节 第九章 多无品数的极值及其求法 一、多元函数的极值 二、最值应用问题 三、条件极值 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
第九章 第八节 一、多元函数的极值 二、最值应用问题 三、条件极值 机动 目录 上页 下页 返回 结束 多元函数的极值及其求法
一、多元函数的极值 定义：若函数 =f(x,y)在点(xo,o)的某邻域内有 定义，且对此去心邻域内的任意点(x,y) f(x,y)<f(o,Yo) (或f(x,y)>f(x,)》 则称函数在该点取得极大值（极小值）.极大值和极小值 统称为极值，使函数取得极值的点称为极僱 例123： z=3x2+4y2在点(0,0)有极小值， 2=-x2+y2 在点(0,0)有极大值， z=xy在点(0,0)无极值 HIGH EDUCATION PRESS 是上页下页返回结束
x y z 一、 多元函数的极值 定义: 若函数 则称函数在该点取得极大值(极小值). 例1 2 3 : 在点 (0,0) 有极小值; 在点 (0,0) 有极大值; 在点 (0,0) 无极值. 极大值和极小值 统称为极值, 使函数取得极值的点称为极值点. 的某邻域内有 x y z x y z 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义,且对此去心邻域内的任意点
定理1（必要条件）函数z=f(x,y)在点(x0,yo)存在 偏导数，且在该点取得极值，则有 f(o%)=0,f(x0,y%)=0 证：因z=f(xy)在点(xo,yo)取得极值，故 z=∫(x,y0)在x=x,取得极值 z=f(xo,y)在y=yo取得极值 据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立 说明：使偏导数都为0的点称为驻点 但驻点不一定是极值点 例3，z=xy有驻点(0,0)，但在该点不取极值 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
说明: 使偏导数都为 0 的点称为驻点 . 例3, 定理1 (必要条件) 函数 偏导数, 证: 据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立. ( , ) 0 , ( , ) 0 f x x0 y0 = f y x0 y0 = 取得极值 , 取得极值 取得极值 但驻点不一定是极值点. 有驻点( 0, 0 ), 但在该点不取极值. 且在该点取得极值 , 则有 存在 故 机动 目录 上页 下页 返回 结束
定理2（充分条件）若函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的 的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数，且 fx(x0,0)=0,fy(x0,0)=0 令A=fxx(xo,o),B=fxy(x0,0),C=fyy(x0,0） A<0时取极大值 则：1)当AC-B2>0时，具有极值 A>0时取极小值 2)当AC-B2<0时，没有极值 3)当AC-B2=0时，不能确定，需另行讨论 证明见第九节 HIGH EDUCATION PRESS 下页返回结束
时, 具有极值 定理2 (充分条件) 的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, 且 令 则: 1) 当 A<0 时取极大值; A>0 时取极小值. 2) 当 3) 当 证明见 第九节 . 时, 没有极值. 时, 不能确定 , 需另行讨论. 若函数 z = f (x, y) 在点(x0 , y0 )的 f x (x0 , y0 ) = 0 , f y (x0 , y0 ) = 0 ( , ) , ( , ) , ( , ) 0 0 0 0 0 0 A f x y B f x y C f x y = xx = x y = y y 0 2 AC − B 0 2 AC − B 0 2 AC − B = 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例4.求函数f(x,y)=x3-y3+3x2+3y2-9x的极值 解：第一步求驻点。 fx(x,y)=3x2+6x-9=0 解方程组 f,(x,y)=-3y2+6y=0 得驻点：(1,0)，(1,2)，(-3,0)，(-3,2) 第二步判别.求二阶偏导数 B fx(x,y)=6x+6,fx(xy)=0,fy(x,y)=-6y+6 在点(1,0)处A=12,B=0,C=6, AC-B2=12×6>0,A>0, .f(1,0)=-5为极小值 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例4. 求函数 解: 第一步 求驻点. 得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (–3, 0) , (–3, 2) . 第二步 判别. 在点(1,0) 处 为极小值; 解方程组 A B C 的极值. 求二阶偏导数 f (x, y) = 6x + 6, xx f (x, y) = 0, xy f y y (x, y) = −6y + 6 12 6 0, 2 AC − B = A 0, 机动 目录 上页 下页 返回 结束