第七节 第九章 方向导数写梯袁 一、方向导数 二、梯度 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
第九章 第七节 一、方向导数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、梯度 方向导数与梯度
一、方向导数 定义：若函数f(xy)在点(x,y)处 沿方向1（方向角为α，B)存在下列极限 Px,月 lim △f t-→0 t lim f(o+tcosa,yo+tcosB)-f(xo-yo) 记作af 1→0 al 则称 为函数在点P,处沿方向1的方向导数 al HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
l P(x, y) 一、方向导数 定义: 若函数 f (x, y) t f t → + 0 lim 则称 l f ( ) 0, 0 x y l f t 为函数在点 处沿方向 l 的方向导数. t f x t y t f x y t ( cos , cos ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 + + − = → + 在点 ( , ) 0 0 0 P x y 处 沿方向 l (方向角为 , ) 存在下列极限: 机动 目录 上页 下页 返回 结束P = 记作 0 p
定理：若函数f(x,y)在点P(x,)处可微 则函数在该点沿任意方向1的方向导数存在，且有 1\ =f(xoo)cosa+(o,)cosB 其中a,B为l的方向角 证明：由函数f(x,y)在点P,可微，得 P(x,y) 8LAx+0A+00) ∂y =tf(xovo)cosa+f(xoxo)cosB)+0(t) 故t =f(xo.Yo)cosa+f(xo.Yo)cosB HIGH EDUCATION PRESS D0C08 机动目录上页下页返回结束
( , ) ( , ) , 若函数 f x y 在点P0 x0 y0 处可微 P(x, y) l 定理: 则函数在该点沿任意方向 l 的方向导数存在 , t f l f t = → + 0 lim ( 0 , 0 ) cos ( 0 , 0 ) cos 0 f x y f x y l f x y P = + 证明: 由函数 f (x, y) y o(t ) y f x x f f + + = 且有 + o(t ) 在点 可微 , 得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 t P 故
特别： ·当1与x轴同向(a=0,P=号)时，有 of_of al 8x ·当1与x轴反向(a=x,B=受)时，有 al 8x HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
机动 目录 上页 下页 返回 结束 x f l f = 特别: • 当 l 与 x 轴同向 ( )时,有 2 0, = = • 当 l 与 x 轴反向 ( )时,有 2 , = = x f l f = −
例1.求函数z=xe2在点P(1,0)沿从点P1,0) 到点Q2,-1)的方向导数 解：向量1=P2,的方向余弦为 1 cosa= cosB=月 品司2w*l四 v2 2 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例1. 求函数 在点 P(1, 0) 沿从点 到点Q(2,-1)的方向导数 . = l l z + − ) 2 1 2 ( 2 2 y 1 2 y e x e 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 向量 的方向余弦为