现在从整体上来看这个图形,你有什么想法? y=f(x) y=a+a y=a C-8 你能否由此得出 一个极限的定义 和一个重要的定理 x|>X>0←→x>X或x<-H
O x y y = a y = a + y = a − − X X y = f (x) 你能否由此得出 一个极限的定义 和一个重要的定理. | x | X 0 x X 或 x −X 现在从整体上来看这个图形 , 你有什么想法?
3.x->∞时,函数∫(x)的极限 完义VE>0,若3X>0,使当x|>X时,有 Lf(x-a<e 成立,则称函数f(x)当x>∞时,极限存在 常数a为其极限值记为 lim f(x)=a 或记为f(x)→>a(x→>∞)
0, 若 X 0, 使当| x | X 时, 有 成立, 则称函数 f (x)当x → 时, 极限存在, lim f (x) a , x = → | f (x) − a | 3. x → 时, 函数 f (x)的极限 定义 或记为 f (x) → a (x → ). 常数a 为其极限值, 记为
由于|x|>X>0→x>X或x<-X 所以,按绝对值元限增大时, 既包含了x-)+∞, 又包含了ⅹ)-0的情形
由于 | x | > X > 0 x > X 或 x < −X, 所以, x 按绝对值无限增大时, 又包含了 x→ − 的情形. 既包含了 x→ +
定理 lim f(x)=a < lim f(x)=lim f(x)=a x→)0 x→)+0 x→-0 由绝对值关系式 x|>X<→x>X或x<-X(X>0) 及极限的三个定义即可证明该定理
定理 lim f (x) a lim f (x) lim f (x) a . x x x = = = → →+ →− 及极限的三个定义即可证明该定理. | x | X x X 或 x −X (X 0) 由绝对值关系式:
1+ 例1证明:lim 2x32 证VE>0 1+x31 <E.即要 2 xB3 <E,即|x|> 2x32 32 故取Ⅹ 32E 则当|x|>X时,有 1+x31 < 2x32 成立.由极限的定义可知:G,1+x31 2x32
. 2 1 2 1 lim 3 3 = + → x x x 证明： 证 0, , 2 1 2 1 3 3 − + x x 要 , 2 | | 1 3 x 即要 , 2 1 | | 3 即 x , | | , 2 1 故取 X = 3 则当 x X 时 有 2 1 2 1 3 3 − + x x 成立. 由极限的定义可知: . 2 1 2 1 lim 3 3 = + → x x x 例1