高等院校非数学类本科数学课程：《大学数学》课程PPT教学课件（一）一元微积分学课件 第7讲 函数极限概念

例2]计论函数/(x)=1+x2当x→时的极跟 解]当|x无限增大时,1+x2也无限增大,此时 X 无限缩小.可以小于任意小的正数,因而应该有 0 1+x 下面证明我仉的猜想:由极限的定义,VE>0,要 0 证明过程 <E 1+x 1+x21+x 怎么写? 当E21时,x≠O,则、1 <E显然成立 1+x 即要1<x2 当E<1时,|x 1时,1 <E成立

. 1 1 ( ) 讨论函数 2 当 → 时的极限 + = x x f x 解 2 2 1 1 | | , 1 , x x x + 当 无限增大时 + 也无限增大 此时 无限缩小, 可以小于任意小的正数 . 因而应该有 0. 1 1 lim 2 = x→ + x 下面证明我们的猜想: 由极限的定义,   0, 要 , 1 1 1 1 0 1 1 2 2 2   + = + − = + x x x 1 , 1 2 −  x  即要 . 1 1 1 , 0, 当 时 则 2   显然成立 +   x x . 1 1 1 , 1 1 , | | 当 时 时 2  成立    +   − x  x   证明过程 怎么写？ 例2

这里想得通吗? ∨E>0(不妨设0<6<1),取X=1-1,则当 x|>X时,有 0 <8 1+x 1+x21+x 故由极限的定义可知:jin1 0 ol+x 由于E>0是用来描述∫(x)与a的接近程度 它的值可以取得任意小,故可以在一开始时就假设 它小于某个正数

不妨设 取 1, 则当 1   0 ( 0  1), = −    X | x |  X 时, 有 , 1 1 1 1 0 1 1 2 2 2   + = + − = + x x x 0. 1 1 : lim 2 = x→ + x 故由极限的定义可知 这里想得通吗？ 由于  0 是用来描述 f (x) 与 a 的接近程度的, . , 它小于某个正数 且它的值可以取得任意小 故可以在一开始时就假设

例3证明 lim arctan不存在 x→0 y 分析猾要证明之处 —2 由图容易看出 y= arctan lim arctan x X→)+O 2 lim arctan x= x→-0 请同学们 由定理可知: lim arctan不存在.自己先证一下 x→0

证明 lim arctanx 不存在. x→ 2  2  − y y = arctan x x 由图容易看出： , 2 lim arctan  = →+ x x , 2 lim arctan  = − →− x x 由定理可知： limarctanx 不存在. x→ 需要证明之处 请同学们 自己先证一下. 例3

(1)证明: lim arctan x≈z 2 VE>0,要 arctan x-x|<6,即要 28< arctan<-+8. 由于-< arctan<,所以只需证明-E< arctan x 当￡≥-时,x>0就有 arctan x> 当0<E<"时,由 arctan x>"-E及tanx的单调性 2 x> tan E|>0 综上所述,取X=max{tan-E,0},则当x>X时, 2 arctan x <E,即 lim arctan x xX→)+

证 . 2 (1) lim arctan  = →+ x x 证明： | , 2 0, 要 | arctan  即要    x −  . 2 arctan 2     −  x  + , 2 arctan 2 由于 所以只需证明   −  x  arctan . 2 −  x  . 2 , 0 arctan 2    当   时 x  就有 x  − tan , 2 , arctan 2 当 0 时 由 x  及 x 的单调性       − 0. 2 tan         −   x , 0}, , 2 综上所述, 取 X max{ tan  则当 x  X 时      = −   . 2 | , lim arctan 2 | arctan    −  = →+ x x x 即

」(2)证明: lim arctan x= 2 VE>0,要| arctan 2/03象 8< arctan ￡. 必acmr,所以只需证明 arctan x<-n+ 由于 E≥时,x<0就有 arctan<+E 丌 当0<E<时,由 arctan x<-+E及tanx的单调性,得 2 x< tan tan 2 2 综上所述,取X=max{tan-E0},则当x<-X时 2 2八E,即 lim arctan x= 丌 arctan x

证 . 2 (2) lim arctan  = − →− x x 证明： | , 2 0, 要 | arctan  即要            x − − . 2 arctan 2     − −  x  − + , 2 arctan 2 由于 所以只需证明   −  x  . 2 arctan   x  − + . 2 , 0 arctan 2    当   时 x  就有 x  − + 当 时 由 及 tan 的单调性, 得 2 , arctan 2 0 x  x       − + . 2 tan 2 tan        = − −       − +     x , 0}, , 2 综上所述, 取 X max{ tan  则当 x  −X 时      = −  . 2 | , lim arctan 2 | arctan      = −      − − →− x x x 即