《高等数学讲义》课程教学资源（电子讲义）第四讲 一元函数积分的概念、性质与基本定理

、一元函数积分的概念、性质与基本定理 原函数、不定积分 在区间I上,如F(x)=f(x),称f(x)为F(x)的导函数,称 F(x)为f(x)的原函数,原函数与导函数是一种互逆关系。 如F(x)为f(x)的一个原函数,则F(x)+C为f(x)的全体原函 数 记为∫xx,即∫f(xAdx=F(x)+C 不定积积分性质 (1)(f(x) dx)=f(x) d fxdx =f(xdx (2)JF(x)dx =F(x)+C (3)k f(xdx =k f(x)dx ()j((x)±gx)dx=jx)dx±gxdx ∵原函数与导函数有互逆关系,由导数表可得积分表。 In 例、P98例3.1已知F(x)是的一个原函数, 求:dF(sinx) 解:F(x)= dF(sin x) dF(sinx COSX sinx SInx 例、f(x)的导函数是sinx,则f(x)的原函数 sinx+c1x+c2,(c1、c2为任意常数)

一、一元函数积分的概念、性质与基本定理 1、原函数、不定积分 在区间Ⅰ上，如 F (x) f(x) / = ，称 f(x) 为 F(x) 的导函数，称 F(x) 为 f(x) 的原函数，原函数与导函数是一种互逆关系。 如 F(x) 为 f(x) 的一个原函数，则 F(x)+ C 为 f(x) 的全体原函 数。 记为  f(x)dx ，即  f(x)dx=F(x)+ C 不定积积分性质 (1) ( f(x)dx) f(x) /  = 或 d f(x)dx = f(x)dx  (2) F (x)dx F(x) C /  = + (3)  =  k f(x)dx k f(x)dx (4)   =    (f(x) g(x))dx f(x)dx g(x)dx ∵原函数与导函数有互逆关系,∴由导数表可得积分表。 例、P98例 3.1 已知 F(x) 是 x ln x 的一个原函数， 求： dF(sin x) 解： x lnx F (x) / = cosxdx sinx lnsinx dsinx dsinx dF(sinx) dF(sin x) = = 例、 f(x) 的导函数是 sin x ，则 f(x) 的原函数 1 2 − sin x + c x + c ，( 1 c 、 2 c 为任意常数)

例、在下列等式中,正确的结果是_C A、∫f'(xdx=f(x) B、∫dfx)=f(x) C、∫f(xdx=f(x)D、djf(x)dx=x) 例、J√x√x(-)x=x2:x(-)dx x4+4x4+C

例、在下列等式中，正确的结果是 C A、 ( )  f (x)dx = f x / B、 df(x) = f(x) C、  f (x)dx = f(x) dx d D、d f (x)dx = f(x) 例、 )dx x 1 )dx x x (1 x 1 x x (1 2 4 1 2 1 2  − =   − (x - x )dx 4 5 4 3  − = x 4x C 7 4 4 1 4 7 = + + −

2、计算方法 1°换元法 第一类换元法(凑微分法) 常用凑微分形式 dkx= kd d(x +c=dx e dx=de dx dInx cosx =sinx -dx=d dx=d√x sec xdx =d tanx dx=d arc sinx dx=d√1+x2 √1+x X d√1 sin 2x dx=dsin x sin 2x dx=-d cos x 例 dx d(3-2x)=-h3-2x+c

2、计算方法 1 0 换元法 第一类换元法（凑微分法） 常用凑微分形式 dkx = kdx d(x + c)= dx x x e dx = de dx dlnx x 1 = cosx = dsin x x 1 dx d x 1 2 − = dx d x 2 x 1 = sec xdx dtan x 2 = dx d arc sin x 1- x 1 2 = 2 2 dx d 1 x 1 x x = + + 2 2 dx d 1 x 1- x - x = − sin 2x dx dsin x 2 = sin2x dx dcos x 2 − = − 例、   − = − − + − = − − ln 3 2x c 2 1 d(3 2x) 3 2x 1 2 1 dx 3 2x 1

3 dx=√ Inxd In x=(lnx)2+c 8,cos x sin xdx =sin xdsinx=-sin*x+c d 10、Jxe^dx e + c d ==-arc tan -+c a+x a)a dx d 2x =-arctan -+c 9+4 232+(2x) dx= (x+1)c +2x+5 +1)2+4 arctan d x= arcsin -+c √1+12x-9x 5-(2-3x arc sin sec x tanx+1 √tanx+/(tanx+1)=2√tanx+1+c 17、 j tanxdx=∫tan3x(secx-1 tan xd tan x-(secx-l)dx =-tan'x-tanx+x+c

7、  = = (lnx) + c 3 2 dx lnxd ln x x ln x 2 3 8、  = = sin x + c 4 1 cos x sin xdx sin x d sin x 3 3 4 9、  = −  d 1- x = 1− x + c 2 1 d x 1- x x 2 2 2 10、  = −  = − e + c 3 1 e d(-x) 3 1 x e dx 3 3 -x 3 -x 3 2 -x 11、    = +            + = + c a x arc tan a 1 a x d a x 1 1 a 1 dx a x 1 2 2 2 12、   = + + = + c a 2x arctan 6 1 d2x 3 (2x) 1 2 1 d x 9 4x 1 2 2 2 13、   + + + = + + d(x 1)c (x 1) 4 1 d x x 2x 5 1 2 2 c 2 x 1 arctan 2 1 + + = 14、  = + c a x d x arcsin a - x 1 2 2 15、   − − = + 2 2 5 (2 3x) dx 1 12x - 9x dx 3 1 = − c 5 2 3x arc sin + − 16、 d(tanx 1) 2 tanx 1 c tan x 1 1 tan x 1 sec x 2 + = + + + = +   17、  tan xdx =  tan x(sec x −1)dx 4 2 2 tan xd tan x (sec x 1)dx 2 2 =  −  − tan x tan x x C 3 1 3 = − + +

arcsin 18 dx=arcsin xd arcsinx =-arcsin'x+C 19、jesme+ldx=Jsn(e+l)d(e+1) cos(e+1)+C d 2sin rotan√x arctan √x +X)√X 1+ 2[ arctan√ arctan ctan2√x+C 1+e 1+e d 1+e d(1+er +e In(1+e+C e d X e arctan 24 4 arctan- In(e+4 )+C 248 P100,(9) (10),(14)

18、 dx arcsin xdarcsin x 1 x arcsin x 4 2 4  =  − arcsin x C 5 1 5 = + 19、  e sin(e +1)dx =  sin(e +1)d(e +1) x x x x cos(e 1) C x = − + + 20、  =  ds 2 cos xd x x cos x = 2sin x + C 21、 d x 1 x arctan x dx 2 (1 x) x arctan x   + = + =  2 arctan xdarctan x arctan x C 2 = + 22、 dx 1 e 1 e e dx 1 e 1 x x x  x  + + − = +  + = − dx 1 e e 1 x x ( )  + + = − x x 1 e d 1 e x x ln(1 e ) C x = − + + 23、    + − + = + − e (e 4) de e 4 de dx e 4 e 1 x 2x x 2x x 2x x x 2x x x x de e 4 e e 1 4 1 2 e arctan 2 1        + = − − ln(e 4) C 8 1 4 x 2 e arctan 2 1 2x x = − + + + P100, (9), (10), (14)