《电动力学》课程授课教案（讲稿）第一章 电磁现象的普遍规律

电动力学讲稿●第一章：电磁现象的普遍规律$2电流和磁场一、电荷守恒定律引言：前面我们研究了不随时间变化的带电系统，电荷是静止的，他们将激发电场，如果电荷运动，又将会怎样？在电磁学中，我们知道可以用电流强度来描述电荷的运动（提问：电流强度的定义？板画：导体中的电流。）电流强度—一单位时间通过某一截面的电荷总量-doI = lim0t采用物理量电流强度描述电流十分粗糙：1、带电粒子的运动在空间各点可能存在一定的分布。导体中的稳恒电流是均勾分布的但是如果电流随着时间变化，则可能不再是均匀分布，实验表明交频电流通过导体时存在趋肤效应；其实运动电荷系统是多样的，对于在真空中运动的大量带电粒子系统难以用电流强度进行描述（板画：作“定向”运动的带电粒子系统可以存在不均匀分布；作“宏观无规”运动的带电粒子系统难以用电流强度描述）2、提问：电流强度是矢量还是标量？（根据如上定义的）电流强度没有方向（分析：也不可以为电流强度定义方向。板画：以导体中的电流为例，选一任意截面，过截面的带电粒子不具有单一运动方向（由于热运动），电流强度并未刻画电荷的运动方向），但是，带电粒子的运动却是有的。为了解决这一问题，需引入电流密度（P11）：方向为电流方向（正电荷运动方向），大小为单位时间垂直通过单位面积的电量。电流密度与电流强度的关系：dl = J.ds[J.ds1=讨论：1、J(F,t)是对空间点定义的（而电流强度是对于一有限面定义的），他并不ds要求通过一有限面的带电粒子的速度（方向）一致（如有图）。2、对于一种运动带电粒子形成的电流J=pv。推导：如上图，设截面面积为△S，斜方体的长度为△/=v△t，所有粒子的速度均为，速度与截面法向的夹角为，则斜方体体积为△V=△S/cos=v△S△tcos，设带电粒子的电荷密度为p，斜方体中含有电荷△O=p△V=pv△S△tcos，在△t时间内，AV中的电荷全部穿过AS，则电流强度NI=pvAScose。注意到Atdl=j-ds可以改写为dl=JdScosQ，所以J=pv。考虑到方向，可以改写为矢量形式。6

电动力学讲稿●第一章：电磁现象的普遍规律 6 §2 电流和磁场 一、 电荷守恒定律 引言：前面我们研究了不随时间变化的带电系统，电荷是静止的，他们将激发电场，如 果电荷运动，又将会怎样？ 在电磁学中，我们知道可以用电流强度来描述电荷的运动（提问：电流强度的定义？ 板画：导体中的电流。） 电流强度——单位时间通过某一截面的电荷总量 dt dQ t Q I t = Δ Δ = Δ →0 lim 采用物理量电流强度描述电流十分粗糙： 1、带电粒子的运动在空间各点可能存在一定的分布。导体中的稳恒电流是均匀分布的， 但是如果电流随着时间变化，则可能不再是均匀分布，实验表明交频电流通过导体时存 在趋肤效应；其实运动电荷系统是多样的，对于在真空中运动的大量带电粒子系统难以 用电流强度进行描述（板画：作“定向”运动的带电粒子系统可以存在不均匀分布；作 “宏观无规”运动的带电粒子系统难以用电流强度描述） 2、提问：电流强度是矢量还是标量？（根据如上定义的）电流强度没有方向（分析： 也不可以为电流强度定义方向。板画：以导体中的电流为例，选一任意截面，过截面的 带电粒子不具有单一运动方向（由于热运动），电流强度并未刻画电荷的运动方向），但 是，带电粒子的运动却是有的。 为了解决这一问题，需引入电流密度（P11）：方向为电流方向（正电荷运动方向）， 大小为单位时间垂直通过单位面积的电量。 电流密度与电流强度的关系： dI J dS K K = ⋅ ⇒ ∫ = ⋅ S I J dS K K 讨论：1、 J (r,t) K G 是对空间点定义的（而 电流强度是对于一有限面定义的），他并不 要求通过一有限面的带电粒子的速度（方 向）一致（如有图）。 2、对于一种运动带电粒子形成的电 流 J v K K = ρ 。 推导：如上图，设截面面积为 ΔS ，斜方体的长度为 Δl = vΔt ，所有粒子的速度 均为v G ，速度与截面法向的夹角为θ ，则斜方体体积为 ΔV = ΔSΔl cosθ = vΔSΔt cosθ ， 设带电粒子的电荷密度为 ρ ，斜方体中含有电荷 ΔQ = ρΔV = ρvΔSΔt cosθ ，在 Δt 时 间内， ΔV 中的电荷全部穿过 ΔS ，则电流强度 = Δ Δ Δ = t Q I ρvΔS cosθ 。注意到 dI J dS K K = ⋅ 可以改写为 dI = JdS cosθ ，所以 J = ρv 。考虑到方向，可以改写为矢量 形式

电动力学讲稿●第一章：电磁现象的普遍规律对于多种粒子形成的电流：J-p,考查电荷系统存在的某一空间区域V，在单位时间里流出该区域总（正）电荷=6j·dS0. v)=-%v,故而在单位时间里区域V中总的（正）电荷的减少=Jvataty[avdsat(P+V.)dV=0opj.ds -{.dv+[(v.j)dv = ]dvJvatJvatatV注意到区域V的任意性，且可以任意缩小，所以有ap+V.J=0at这是电荷守恒定律的微分形式，也称电流的连续性方程。（连续性的解释：散度与源的关系）电荷守恒定律的积分形式为$j.ds+1%dv =0Jyat。电荷守恒（P12）是目前人们知道的自然界的精确规律之一。。关于微分形式和积分形式的区别讨论：1）特殊情形一：（考查积分形式）当V为无穷大时（实际在物理上，仅需要足够大），在界面上的为零，所以有「dv=0→d=0=」L,pdV = const. (不atJvJvat随时间而变），这表示全空间总电荷守恒。2）特殊情形二：（考查微分形式）对于恒定电流（“恒定”与静电场的“静”在物理上都指物理量不随时间而变）有，√J=0，这表示（描述电流的）电流线必定闭合，没有发源点和终止点（反之如果有发源点或终止点，在这些点处的√·J≠0。3）电荷守恒定律表示（在考查区域）总的电荷守恒，它并不表示“电荷不能产生，也不能消失”（例如用射线照射真空，可以产生正负电子对，而正负电子对也可以灭而放出光子）；或者讲，没有分别关于正、负电荷的守恒定律。二、 Biot-Savart定律Z 个电流可以激发磁场，实验表明：对于电流分布为J(x)的稳恒电流系统，其激发的磁场满足xBiot-Savart定律（1820年）B()=()xavY4元／3Lx7

电动力学讲稿●第一章：电磁现象的普遍规律 7 对于多种粒子形成的电流： i i i J v K K = ∑ρ 考查电荷系统存在的某一空间区域V ，在单位时间里流出该区域总（正）电荷 ∫ = ⋅ S J dS K K ， 而在单位时间里区域V 中总的（正）电荷的减少 ∫ ∫ ∂ ∂ = − ∂ ∂ = − V V dV t dV t ρ ( ρ ) ，故 ∫ ∫ ∂ ∂ ⋅ = − S V dV t J dS K K ρ ⇒ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ + ∇ ⋅ = ∂ ∂ + ∇ ⋅ = ∂ ∂ + ⋅ = ∂ ∂ V V V V S J dV t dV J dV t dV J dS t ( ) ( ) 0 ρ K K ρ K ρ K 注意到区域V 的任意性，且可以任意缩小，所以有 + ∇ ⋅ = 0 ∂ ∂ J t ρ K 这是电荷守恒定律的微分形式，也称电流的连续性方程。（连续性的解释：散度与源的关系） 电荷守恒定律的积分形式为 = 0 ∂ ∂ ⋅ + ∫ ∫ S V dV t J dS K K ρ z 电荷守恒（P12）是目前人们知道的自然界的精确规律之一。 z 关于微分形式和积分形式的区别 讨论： 1） 特殊情形一：（考查积分形式）当V 为无穷大时（实际在物理上，仅需要足够大），在界 面上的 J K 为零，所以有 = 0 ∂ ∂ ∫V dV t ρ ⇒ = 0 ∂ ∂ ∫V dV t ρ ⇒ ∫ = V ρdV const.（不 随时间而变），这表示全空间总电荷守恒。 2） 特殊情形二：（考查微分形式）对于恒定电流（“恒定”与静电场的“静”在物理上都指 物理量不随时间而变）有，∇ ⋅ J = 0 K ，这表示（描述电流的）电流线必定闭合，没有 发源点和终止点（反之如果有发源点或终止点，在这些点处的∇ ⋅ J ≠ 0 K 。 3） 电荷守恒定律表示（在考查区域）总的电荷守恒，它并不表示“电荷不能产生，也不能 消失”（例如用γ 射线照射真空，可以产生正负电子对，而正负电子对也可以湮灭而放 出γ 光子）；或者讲，没有分别关于正、负电荷的守恒定律。 二、 Biot-Savart 定律 电流可以激发磁场，实验表明：对于电流分 布为 J (x) K K 的稳恒电流系统，其激发的磁场满足 Biot-Savart 定律（1820 年） ∫ ′ ′ × = V dV r J x r B x 3 0 ( ) 4 ( ) K K K K K π μ

电动力学讲稿●第一章：电磁现象的普遍规律"o为真空磁导率，J（"）（与时间无关）描述源点处的电流密度，『是场点与源点x的距离，下=x-x，积分遍及电流分布区域（即V应包含所有电流）。对于通电细导线（回路），（板画）设导线横截面为dS，，电流元的长度为dl，Jdv' = Jas,dl = Jds,di = IdlBiot-Savart定律写为B() = Ho ldi ×F34元／三、磁场的旋度和散度B.di =μol（对于静电场有E·di=0)安培环路定律：由斯托克斯定理得其微分形式VxB=μoj说明，电流激发的磁场旋度（在电流存在的空间）不为零。在电磁学中，已经知道，磁力线没有起点和终点，即描述磁场的磁力线一定是闭合曲线（对于任意的封闭曲面，如果有一条磁力线穿出，则必定有一条要穿入）。在数学上可以表为$B.dS=0其微分形式为V.B=0散度为零表明磁感应强度B是无“源”场，即不存在磁荷（磁单极子）。以上从电磁学有关结论得到了静磁场的散度和旋度，其实，他们都可以从Biot-Savart定律导出。我们磁场旋度和散度公式的推导相关数学知识补充：1）√算子在球坐标下的形式注意到直角坐标下，在三个方向e、é,和e.上的微小位移分别为ox、y和oz，V算子表为ata.ataaV=é.+é+éxt ozeyoy在球坐标下，在三个方向é，、é。和é。上的三个微小位移分别为

电动力学讲稿●第一章：电磁现象的普遍规律 8 μ 0为真空磁导率， J (x ) K K ′ （与时间无关）描述源点 x K ′ 处的电流密度，r K 是场点 x K 与源点 x K ′ 的距离， r x x' K G G = − ，积分遍及电流分布区域（即V 应包含所有电流）。 对于通电细导线（回路），（板画）设导线横截面为 dSn ，电流元的长度为 dl ， JdV JdS dl JdS dl Idl n n K K K K ′ = = = Biot-Savart 定律写为 ∫ × = L r Idl r B x 3 0 4 ( ) K K K K π μ 。 三、 磁场的旋度和散度 安培环路定律： B dl I ∫L ⋅ = μ 0 K K (对于静电场有 ∫ ⋅ = L E dl 0 K K ) 由斯托克斯定理得其微分形式 B J K K ∇ × = μ 0 说明，电流激发的磁场旋度（在电流存在的空间）不为零。 在电磁学中，已经知道，磁力线没有起点和终点，即描述磁场的磁力线一定是闭合曲 线（对于任意的封闭曲面，如果有一条磁力线穿出，则必定有一条要穿入）。在数学上可以 表为 ⋅ = 0 ∫S B dS K K 其微分形式为 ∇ ⋅ B = 0 K 散度为零表明磁感应强度 B K 是无“源”场，即不存在磁荷（磁单极子）。 以上从电磁学有关结论得到了静磁场的散度和旋度，其实，他们都可以从 Biot-Savart 定律导出。我们 磁场旋度和散度公式的推导 相关数学知识补充： 1）∇ 算子在球坐标下的形式 注意到直角坐标下，在三个方向 x e G 、 y e G 和 z e G 上的微小位移分别为∂x 、∂y 和∂z ，∇ 算 子表为 z e y e x ex y z ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ∇ = G G G 在球坐标下， 在三个方向 r e G 、 ϕ e G 和 θ e G 上的三个微小位移分别为