因此有 f∫ f2(x0,y+△y)-f(x0,y) y(-05J0 △y→>0 △ 加imf(x+△x,y4y f(x0,y+△y △y→0△p△x→0 △x lim f(x0+△x,yo)-f(xo,y) △x→0 △x lim im [f(xo+△x,y+△y) △J→0△x→0△x△y f(x,+△y)-f(x+△x,y)+f(x,y) 前 后
前页 后页 返回 因此有 0 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) lim x x x y y f x y y f x y f x y y → + − = 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) lim x f x x y f x y → x + − − 0 0 0 0 0 0 1 ( , ) ( , ) lim lim y x f x x y y f x y y y x → → + + − + = 0 0 0 0 1 lim lim ( , ) y x f x x y y → → x y = + + 0 0 0 0 0 0 − + − + + f x y y f x x y f x y ( , ) ( , ) ( , ) ; (1)
类似地有 lm 1 m yx 050 △x→04y→0△x△y ∫(x+△x,o+△y) f(xo+△x,J)-f(x,y+△y)+f(xn1)](2) 为使∫x,(x0,y)=f(x02y0)成立,必须使(1)、(2) 这两个累次极限相等.下述定理给出了使(1)与(2) 相等的一个充分条件 定理177若fx(x,y)与∫1x(x,y)都在点(x,y0) 连续,则 前 后
前页 后页 返回 类似地有 为使 0 0 0 0 ( , ) ( , ) x y y x f x y f x y = 成立，必须使 (1)、(2) 这两个累次极限相等. 下述定理给出了使 (1) 与 (2) 相等的一个充分条件． 定理 17.7 若 ( , ) ( , ) x y y x f x y f x y 与 都在点 0 0 ( , ) x y 连续，则 0 0 0 0 0 0 1 ( , ) lim lim ( , ) y x x y f x y f x x y y → → x y = + + 0 0 0 0 0 0 − + − + + f x x y f x y y f x y ( , ) ( , ) ( , ) . (2)
xy(050 )=∫yx(x0,V) 63) 证令 F(△x,△y)=f(x+△x,y+△y)-f(x+△x,yo) f(x0,y+△y)+∫(x0,yo, P(x)=f(x,yo+ Ay)-f(x, yo). 于是有 F(△x,△y)=q(x0+△x)-gp(x0) 对q应用微分中值定理,彐61∈(0,1),使得 前 后
前页 后页 返回 证 令 0 0 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ), F x y f x x y y f x x y f x y y f x y = + + − + − + + 0 0 ( ) ( , ) ( , ). x f x y y f x y = + − 于是有 0 0 F x y x x x ( , ) ( ) ( ) . = + − (4) 对 应用微分中值定理， 1 (0, 1), 使得 0 0 0 0 ( , ) ( , ) . x y y x f x y f x y = (3)
q(x0+△x)-9(x)=q(x0+1△x)△x =[f(x+6△x,y+△y)-∫x(x+△x,y0)△x 又∫(x0+△x,y)作为y的可导函数,再使用微分 中值定理,彐2∈(0,1),使上式化为 p(x0+△x)-q(x0)=x(x0+61△x,y+2△y)△x△y 由(4)则有 F(Ax,Ay)=fx,(x0+B1Ax,y+2△y)△xA (0<61,62<1) (5) 如果令 前 后
前页 后页 返回 0 1 ( , ) , x 又 作为 的可导函数 再使用微分 f x x y y + 中值定理， 2 (0, 1), 使上式化为 0 0 0 1 0 2 ( ) ( ) ( , ) . x y x x x f x x y y x y + − = + + 由 (4) 则有 0 1 0 2 1 2 ( , ) ( , ) (0 , 1). F x y f x x y y x y x y = + + (5) 如果令 0 0 0 1 ( ) ( ) ( ) x x x x x x + − = + 0 1 0 0 1 0 [ ( , ) ( , ) ] . x x = + + − + f x x y y f x x y x
y(x)=∫(x0+△x,y)-f(x0,y) 则有 F(△x,△y)=y(y0+△y)-v(Vo 用前面相同的方法,又可得到 F(△x,△y)=f∫x(x0+63△x,y+64△y)△x△y (0<63,64<1) 当△x,△y不为零时,由(5),(6)两式又得 ∫x(x+日1Ax,y0+B24y)=Jx(x0+63Ax,+日4y) (0<a,02,63,64<1) (7) 前 后
前页 后页 返回 0 0 ( ) ( , ) ( , ), x f x x y f x y = + − 则有 0 0 F x y y y y ( , ) ( ) ( ). = + − 用前面相同的方法, 又可得到 0 3 0 4 3 4 ( , ) ( , ) (0 , 1). F x y f x x y y x y y x = + + 当 x y , 不为零时，由 (5), (6) 两式又得 0 1 0 2 0 3 0 4 1 2 3 4 ( , ) ( , ) (0 , , , 1). (7) x y y x f x x y y f x x y y + + = + +