第一节二重积分的概念与性质 △利用直角坐标计算二重积分 交换积分顺序 利用极坐标计算二重积分 ②小结思考题 wM
第一节 二重积分的概念与性质 利用直角坐标计算二重积分 交换积分顺序 利用极坐标计算二重积分 小结 思考题
利用直角坐标系计算二重积分 如果积分区域为:a≤x≤b,φ(x)≤y≤φ2(x) X一型] y=2(x) q2( y=p,(r) y=q,(r) 其中函数q1(x)、2(x)在区间Ia,b上连续
如果积分区域为： a x b, ( ) ( ). 1 x y 2 x 其中函数 ( ) 、 在区间 上连续. 1 x ( ) 2 x [a,b] 一、利用直角坐标系计算二重积分 ［X－型］ ( ) 2 y = x a b D ( ) 1 y = x D a b ( ) 2 y = x ( ) 1 y = x
f(x,y)do的值等于以D为底,以曲面z f(x,y)为曲顶柱体的体积 z=f(r, y) 应用计算“平行截 面面积为已知的立 体求体积”的方法, A(x0) d q2(x) y=(1(x) 得‖f(x,y)do=|axf(x,y)y q1(x)
为曲顶柱体的体积． 的值等于以 为底，以曲面 ( , ) ( , ) f x y f x y d D z D = 应用计算“平行截 面面积为已知的立 体求体积”的方法, a 0 x b z y x ( ) 0 A x z = f (x, y) ( ) 1 y = x ( ) 2 y = x ( , ) ( , ) . ( ) ( ) 2 1 = D b a x x f x y d dx f x y dy 得
例1.计算Ⅰ=xydo,其中D是直线y=1,x=2,及 D y=x所围的闭区域 解法1.将D看作X-型区域,则△:∫1sy≤x 1<x<2 say xl,xy Xy x dx= 298 1 x 2x
x y 2 1 1 y = x o 2 例1. 计算 d , = D I xy 其中D 是直线 y＝1, x＝2, 及 y＝x 所围的闭区域. x 解法1. 将D看作X–型区域, 则 D : I = 2 1 d x xyd y = 2 1 d x = − 2 1 2 3 1 2 1 x x dx 8 9 = 1 2 2 1 x xy y 1 x 1 y x 1 x 2
例2求(x2+y)h,其中D是由抛物线 y=x2和x=y2所围平面闭区域 解两曲线的交点 2 y=r →(0,0),(1,1) 0.40.60.8 ∫jcx2+y)d小=aJ(x2+y)y 33 x(x-x)+(x-x ldx 2 140
例 2 求 + D (x y)dxdy 2 ，其中D是由抛物线 2 y = x 和 2 x = y 所围平面闭区域. 解 两曲线的交点(0,0) , (1,1), 2 2 = = x y y x + D (x y)dxdy 2 = + 1 0 2 2 ( ) x x dx x y dy x x x (x x )]dx 2 1 [ ( ) 2 4 1 0 2 = − + − . 140 33 = 2 y = x 2 x = y 2 y = x 2 x = y