数理逻辑 课程
数理逻辑 课 程 V
第5章谓词逻辑的等值和推理演算 ■谓词逻辑研究的对象是重要的逻辑规律,普遍有效 式是最重要的逻辑规律,而等值式、推理式都是普 遍有效的谓词公式,因此等值和推理演算就成了谓 词逻辑的基本内容,同命题逻辑相比,由于量词谓 词的引入,使谓词演算有着广泛的应用.特别是计 算机科学、人工智能等领域,是把谓词逻辑当作表 示知识、实现推理的有力工具来看待的 这章的讨论,主要是以语义的观点进行的非形式的 描述,而严格的形式化的讨论见第6章所建立的公 理系统
第5章 谓词逻辑的等值和推理演算 谓词逻辑研究的对象是重要的逻辑规律，普遍有效 式是最重要的逻辑规律，而等值式、推理式都是普 遍有效的谓词公式，因此等值和推理演算就成了谓 词逻辑的基本内容，同命题逻辑相比，由于量词谓 词的引入，使谓词演算有着广泛的应用．特别是计 算机科学、人工智能等领域，是把谓词逻辑当作表 示知识、实现推理的有力工具来看待的． 这章的讨论，主要是以语义的观点进行的非形式的 描述，而严格的形式化的讨论见第6章所建立的公 理系统．
5.1否定型等值式 ■若给定了两个谓词公式A,B,说A和B是等值 的,如果在公式A,B的任一解释下,A和B都 有相同的真值 等价的说法是A,B等值当且仅当AB是普遍 有效的公式A和B等值.就记作A=B或AB
5．1 否定型等值式 若给定了两个谓词公式A，B，说A和B是等值 的，如果在公式A，B的任一解释下，A和B都 有相同的真值． 等价的说法是A，B等值当且仅当A↔B是普遍 有效的公式,A和B等值．就记作A＝B或AB
5.1.1由命题公式移植来的等值式 ■若将命题公式的等值式,直接以谓词公式代入命题变项便可 得谓词等值式.由 7-p=pp→q=-pVq,(p^q)Vr=(p∧(qvr) 可得 P()=P(X) (V×)P(x)=(V×)P(× P(×)→Q(×)=-P(×)vQ(×) (×)P(X)→→(×)Q(×)=-(V×)P(x)V(彐×)Q(×) (P(XAQ(X)VR(X=(P(XVR(X)A(Q(XVR(X)) Vx)P(x)AQ(y)v(2)R(z)=(×P(×)V(2)R(2)A(Q(y)V(日z) R(z)
5．1．1 由命题公式移植来的等值式 若将命题公式的等值式，直接以谓词公式代入命题变项便可 得谓词等值式．由 ﹁﹁p＝p,p→q=﹁p∨q, (p∧q)∨r=(p∨r)∧(q∨r) 可得 ﹁﹁P(x)＝P(x) ﹁﹁(x)P(x)＝(x)P(x) P(x)→Q(x)＝﹁P(x)∨Q(x) (x)P(x)→(x)Q(x)＝﹁ (x)P(x)∨(x)Q(x) (P(x)∧Q(x))∨R(x)=(P(x)∨R(x))∧(Q(x)∨R(x)) ((x)P(x)∧Q(y))∨(z)R(z)=((x)P(x)∨(z)R(z))∧(Q(y)∨(z) R(z))
5.1.2否定型等值式 (×)P()=(×)-P(×) (x)P(x)=(V×)-P(×) ■形式上看这对公式,是说否定词”-”可越过量词深 入到量词的辖域内,但要把所越过的量词∨转换为彐, 彐转换为∨
5．1．2 否定型等值式 ﹁(x)P(x)=(x)﹁P(x) ﹁(x)P(x)=(x)﹁P(x) 形式上看这对公式，是说否定词”﹁ ”可越过量词深 入到量词的辖域内，但要把所越过的量词转换为， 转换为