第二章实数理论 郇中丹 2006-2007年度第一学期
1 第二章 实数理论 郇中丹 2006-2007年度第一学期
为什么要讲实数理论 以往教材上关于实数处理的方式 以 Dedekind分割或 Cauchy基本列方式定义 以公理化方式定义实数来回避直接定义实数 上述处理方式的缺陷 分割和基本列的方式定义需要引入一系列的 工具,并且与中小学教材脱节 公理化的方式使得学生困惑:实数变的难以 理解了 应当与中小学教材衔接并讲清实数:讲清 十进小数
2 为什么要讲实数理论 • 以往教材上关于实数处理的方式: – 以Dedekind分割或Cauchy基本列方式定义 – 以公理化方式定义实数来回避直接定义实数 • 上述处理方式的缺陷: – 分割和基本列的方式定义需要引入一系列的 工具，并且与中小学教材脱节 – 公理化的方式使得学生困惑: 实数变的难以 理解了 • 应当与中小学教材衔接并讲清实数: 讲清 十进小数
实数理论 §1数系理论发展简史 §2定义实数遇到的困难 ·§3我们如何定义实数 §4有理数系的性质 §5实数定义 §6实数的完备性 §7实数的运算性质 §8记号和实数的进一步性质
3 实数理论 • §1 数系理论发展简史 • §2 定义实数遇到的困难 • §3 我们如何定义实数 • §4 有理数系的性质 • §5 实数定义 • §6 实数的完备性 • §7 实数的运算性质 • §8 记号和实数的进一步性质
§1数系理论发展简史 有趣的现象 实数理论简史 引入实数的方法 数系理论
4 §1 数系理论发展简史 • 有趣的现象 • 实数理论简史 • 引入实数的方法 • 数系理论
有趣的现象 数的使用几乎与人类的历史一样长,有人通过 观察推断:动物有数感.在人类文明史中,数的 概念是逐步扩展开来的.然而数的严格意义上 的理论直到在十九世纪后半叶才完成 虽然欧几里德几何原本中已经讨论了可公度比 和无公度比,但没有定义什么叫无公度比的相等 建立数系理论为了完善数学分析理论 建立数系理论是要保证数学的真实性,非欧几何 的出现几何失去了其真实性数学在哲学意义 上的真实性应当建立在算术基础上( Gauss1817)
5 有趣的现象 • 数的使用几乎与人类的历史一样长, 有人通过 观察推断: 动物有数感. 在人类文明史中, 数的 概念是逐步扩展开来的. 然而数的严格意义上 的理论直到在十九世纪后半叶才完成. • 虽然欧几里德几何原本中已经讨论了可公度比 和无公度比,但没有定义什么叫无公度比的相等 • 建立数系理论为了完善数学分析理论 • 建立数系理论是要保证数学的真实性,非欧几何 的出现,几何失去了其真实性;数学在哲学意义 上的真实性应当建立在算术基础上 (Gauss 1817)