习题课 中值定理及导数的应用 微分中值定理及其应用 二、导数应用
二、 导数应用 习题课 一、 微分中值定理及其应用 中值定理及导数的应用
微分中值定理及其应用 1.微分中值定理及其相互关系 罗尔定理(=拉格朗日中值定理 f"(2)=0 f'() f(b)-f(a F(x)=2 f(a)=f(ol F(x)=x b0 1二 柯西中值定理 泰勒中值定理 f(b)-f(a)f(5)f(x)=f(x0)+f(x0)(x-x0 F(b)-F(a)F'() +…+nfm(x0)(x-x0 (n+1) ()(x-x0)
拉格朗日中值定理 f (a) = f (b) 一、 微分中值定理及其应用 1. 微分中值定理及其相互关系 罗尔定理 f () = 0 x y o a b y = f (x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) F f F b F a f b f a = − − b a f b f a f − − = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f a f b F x x = = 1 0 ( 1) ( 1)! 1 ( )( ) + + + + − n n n f x x 柯西中值定理 F(x) = x x y o a b y = f (x) 泰勒中值定理 ( ) ( ) ( )( ) 0 0 0 f x = f x + f x x − x n n n f (x )(x x ) 0 0 ( ) ! 1 ++ − n = 0
2.微分中值定理的主要应用 (1)研究函数或导数的性态 (2)证明恒等式或不等式 (3)证明有关中值问题的结论
2. 微分中值定理的主要应用 (1) 研究函数或导数的性态 (2) 证明恒等式或不等式 (3) 证明有关中值问题的结论
3.有关中值问题的解题方法 利用逆向思维,设辅助函数.一般解题方法: 1)证明含一个中值的等式或根的存在, 多用罗尔定理可用原函数法找辅助函数 (2)若结论中涉及到含同一中值的两个不同函数, 可考虑用柯西中值定理 (3)若结论中含两个或两个以上的中值, 必须多次应用中值定理 (4)若已知条件中含高阶导数,多考虑用泰勒公式 有时也可考虑对导数用多次应用中值定理 5)若结论为不等式,要注意适当放大或缩小的技巧
3. 有关中值问题的解题方法 利用逆向思维 , 设辅助函数 . 一般解题方法: （1）证明含一个中值的等式或根的存在 , (2) 若结论中涉及到含同一中值的两个不同函数 , (3) 若结论中含两个或两个以上的中值 , 多用罗尔定理,可用原函数法找辅助函数. 可考虑用 柯西中值定理. 必须多次应用中值定理 . (4) 若已知条件中含高阶导数 , 多考虑用泰勒公式 , (5) 若结论为不等式 , 要注意适当放大或缩小的技巧. 有时也可考虑对导数用(多次应用)中值定理
例1.设函数f(x)在(a,b)内可导且f(x)≤M, 证明f(x)在(a,b)内有界 证:取点x∈(a,b)再取异x0的点x∈(a,b),对 f(x)在以xo,x为端点的区间上用拉氏中值定理得 f(x)-f(x0)=f(5)(x-xo)(界于xo与x之间 f(x)=f(x0)+f()(x-x) ≤f(x0)+f"()x-x0 ≤f(x)+M(b-a)=K(定数) 可见对任意x∈(a,b),f(x)≤K,即得所证
例1. 设函数 在 内可导, 且 证明 在 内有界. 证: 取点 ( , ), x0 a b 再取异于 0 x 的点 x(a,b), 对 为端点的区间上用拉氏中值定理,得 ( ) ( ) ( )( ) 0 0 f x − f x = f x − x ( ) ( ) ( )( ) 0 0 f x = f x + f x − x 0 0 f (x ) + f ( ) x − x ( ) ( ) 0 f x + M b − a = K (定数) 可见对任意 x(a,b), f (x) K , 即得所证