§4泰勒公式与极值问题 就本节自身而言,引入高阶偏导数是导出 泰芳公式的需要;而泰芬公式除了用于近似 计算外,又为建立极值判别准则作好了淮备 高阶偏导数 中值定理和泰勒公式 极值问题 前页)(后页)(级回
前页 后页 返回 §4 泰勒公式与极值问题 就本节自身而言，引入高阶偏导数是导出 泰劳公式的需要；而泰劳公式除了用于近似 计算外, 又为建立极值判别准则作好了准备. 三、极值问题 返回 一、高阶偏导数 二、中值定理和泰勒公式
高阶偏导数 由于z=f(x,y)的偏导数f(x,y),f(x,y)一般仍 然是x,y的函数,如果它们关于x与y的偏导数也 存在,说明∫具有二阶偏导数.二元函数的二阶偏 导数有如下四种形式: ∫、(x,y)= ax2 ax ax az 8 az ∫ xy( s axay ay(a 前活
前页 后页 返回 一、高阶偏导数 ( , ) ( , ), ( , ) x y 由于 的偏导数 一般仍 z f x y f x y f x y = 然是 的函数 x y, , 如果它们关于 x 与 y 的偏导数也 导数有如下四种形式: 2 2 ( , ) , x x z z f x y x x x = = 2 ( , ) , x y z z f x y x y y x = = 存在, 说明 f 具有二阶偏导数．二元函数的二阶偏
02z a az fra(x, 1)=aox oxley), a z a/az yy 2 0y20 y(oy 类似地可以定义更高阶的偏导数,例如z=f(x,y) 的三阶偏导数共有八种情形: a aa ax ax f 3(x,y), 前 后
前页 后页 返回 2 ( , ) , y x z z f x y y x x y = = 2 2 ( , ) . y y z z f x y y y y = = 类似地可以定义更高阶的偏导数, 例如 z f x y = ( , ) 的三阶偏导数共有八种情形: 3 3 2 3 ( , ), x z z f x y x x x = =
a az 02z ayl ax 2 xyr(x,y),fxv2(x, y), fya MMa(x,y),fyxy(x, y), fvx(x,y) 例1求函数z=ex+2的所有二阶偏导数和 ayax 解由于 z az e x+2y =e x+2y ax ay 前 后
前页 后页 返回 2 2 2 2 ( , ), x y z z f x y y x x y = = x yx ( , ), ( , ), ( , ), 2 3 x y y f x y f x y f x y 2 2 ( , ), ( , ), ( , ). yx y y x yx f x y f x y f x y 解 由于 2 2 e , 2e , z z x y x y x y + + = = 例1 3 2 2 e . x y z z y x + = 求函数 的所有二阶偏导数和
因此有 02z x+2 x+2 e ax 2 ax axay ove x+2y)=2e x+2 02z0 next avax ax )=2ex+2 02z0 y ,(2e x+2y )=4e x+2y。 前 后
前页 后页 返回 因此有 2 2 2 2 (e ) e ; z x y x y x x + + = = 2 2 2 (e ) 2e ; z x y x y x y y + + = = 2 2 2 (2e ) 2e ; z x y x y y x x + + = = 2 2 2 2 (2e ) 4e ; z x y x y y y + + = =