a az (2e x+2y )=2e x+2y vax 2 xanax ax 例2求函数z= arctan”的所有二阶偏导数 解因为 az y az 所以二阶偏导 ax x"+y 2 ay x+y 数为 02z_b(=y 2xy ax 2 2、2 xx2+y2)(x2+y2) 前 后
前页 后页 返回 3 2 2 2 2 (2e ) 2e . z z x y x y y x x y x x + + = = = 解 2 2 2 2 , , z y z x x y x y x y − = = + + 因为 所以二阶偏导 数为 2 2 2 2 2 2 2 2 , ( ) z y x y x x y x y x − = = + + 例2 arctan . y z x 求函数 的所有二阶偏导数 =
02z 2 2 y axay ay(x+y az a 2 ayax ax(x2+y2)(x2+y2) 2xy ayx+ 2 2 J (x2+y2)2 注意在上面两个例子中都有 02z0 axay ayax 前 后
前页 后页 返回 2 2 2 2 2 2 2 2 , ( ) z y x y x y y x y x y − − = = − + + 2 2 2 2 2 2 2 2 , ( ) z x x y y x x x y x y − = = − + + 2 2 2 2 2 2 2 2 . ( ) z x x y y x y x y y − = = + + 注意 在上面两个例子中都有 2 2 , z z x y y x =
即先对x后对p与先对y后对x的两个二阶偏导 数相等(称这种既有关于x,又有关于y的高阶偏导 数为混合偏导数).但是这个结论并不对任何函数都 成立,例如函数 2 x -y y x2+y2≠0 f(, y)= x+y x2+y2=0 它的一阶偏导数为 前 后
前页 后页 返回 数为混合偏导数). 但是这个结论并不对任何函数都 成立，例如函数 2 2 2 2 2 2 2 2 , 0, ( , ) 0, 0. x y xy x y f x y x y x y − + = + + = 它的一阶偏导数为 即先对 、后对 与先对 、后对 的两个二阶偏导 x y y x 数相等 (称这种既有关于 x, 又有关于 y 的高阶偏导
y(x+4x y-y x十1≠ 0 f(x,y)=(x2+y2)2 0. x2+y2=0; x(x4-4x2y2-y2) x+1≠ ∫,(x,y)= 2、2 (x2+y2) 2 r t y 0. 进一步求∫在点(0,0)关于x和p的两个不同顺序 的混合偏导数: 前 后
前页 后页 返回 4 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 ( 4 ), 0, ( , ) ( ) 0, 0; x y x x y y x y f x y x y x y + − + = + + = 4 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 ( 4 ), 0, ( , ) ( ) 0, 0. y x x x y y x y f x y x y x y − − + = + + = 进一步求 在点 f (0,0) 关于 x 和 y 的两个不同顺序 的混合偏导数:
,0.0)=im0,△y)/0.0=m=4 △y→0 △ △y→0△ f,1(0,0)=lim f∫1(△x,0)-f,(0,0) △x 1 △x→>0 △x △x→0△x 由此看到,这两个混合偏导数与求导顺序有关那么 在什么条件下混合偏导数与求导顺序无关呢?为此 先按定义把f∫1(x0,y0)与fx(x02y)表示成极限形 式.由于 f(x,y)=lim f(x+△x,y)-f∫(x,y) △x→0 △x 页)后页)回
前页 后页 返回 0 0 (0, ) (0,0) (0,0) lim lim 1, x x x y y y f y f y f → → y y − − = = = − 0 0 ( ,0) (0,0) (0,0) lim lim 1. y y y x x x f x f x f → → x x − = = = 由此看到, 这两个混合偏导数与求导顺序有关. 那么 在什么条件下混合偏导数与求导顺序无关呢? 为此 先按定义把 0 0 0 0 ( , ) ( , ) x y y x f x y f x y 与 表示成极限形 式. 由于 0 ( , ) ( , ) ( , ) lim , x x f x x y f x y f x y → x + − =