《数学分析》课程教学资源（PPT课件讲稿）泰勒公式与极值问题

由定理假设∫x(x,y)与∫x(x,y)都在点(x0,y)连 续,故当△x→>0,△y→0 在且相等,这就得到所要证明的(3)式 注1若二元函数f(x,y)在某一点存在直到n阶的 连续混合偏导数,则在这一点的所有m(m≤n)阶混 合偏导数都与求导顺序无关 注2这个定理对n元函数的混合偏导数也成立例 如三元函数∫(x,y,x)的如下六个三阶混合偏导数 yZ (x,y,x),∫ z) (x,y,z),∫ Jz (x,y,z), 前 后

前页 后页 返回 在且相等，这就得到所要证明的 (3) 式． 注 1 若二元函数 f x y ( , ) 在某一点存在直到 n 阶的 连续混合偏导数，则在这一点的所有 m m n ( )  阶混 合偏导数都与求导顺序无关． 注2 这个定理对 n 元函数的混合偏导数也成立. 例 ( , , ), ( , , ), ( , , ), x yz xz y yz x f x y z f x y z f x y z ( , ) ( , ) x y y x f x y f x y 与 0 0 由定理假设 都在点 ( , ) x y 连 续, 故当  →  → x y 0, 0 如三元函数 f x y z ( , , ) 的如下六个三阶混合偏导数

yrz( g ) fxy(x, y, 3),fyx(x,y, 3) 若在某一点都连续,则它们在这一点都相等 今后在牵涉求导顺序问题时,除特别指出外,一般 都假设相应阶数的混合偏导数连续 复合函数的高阶偏导数设 z=f(x,y),x=(s, t),y=y(s, t) 若函数f,g,y都具有连续的二阶偏导数,则复合函 数z=f(qp(s,1),y(s,t)对于s,t同样存在二阶连续 前 后

前页 后页 返回 ( , , ), ( , , ), ( , , ) y xz z x y z y x f x y z f x y z f x y z 若在某一点都连续，则它们在这一点都相等． 今后在牵涉求导顺序问题时, 除特别指出外, 一般 都假设相应阶数的混合偏导数连续． 复合函数的高阶偏导数 设 z f x y x s t y s t = = = ( , ), ( , ), ( , ).   若函数 f , ,   都具有连续的二阶偏导数，则复合函 数 z f s t s t s t = ( ( , ), ( , )) ,   对于 同样存在二阶连续

偏导数.具体计算如下: az 88x az ay 十 as dx as ay as oz az ox az 0 十 at dx at ay at 显然与仍是s,t的复合函数,其中 是 as at ax x,y的函数,∝,∝,Q,是s,t的函数继续求 as at as at 关于s,t的二阶偏导数: 前 后

前页 后页 返回 偏导数. 具体计算如下: , z z x z y s x s y s      = +      ; z z x z y t x t y t      = +      , , , z z z z s t s t x y 显然 与 仍是 的复合函数 其中 是         , , , , , , . x x y y x y s t z s t s t 的函数 是 的函数 继续求         关于 s t , 的二阶偏导数:

02z a az 十 2 asl ax S C s S a az ox oy 0z a(ay丿s as as Oy ax az S axoy as as ax as az ax az aya J xoy S a22 asas ay ast 前 后

前页 后页 返回 2 2 z z x z x s s x s x s s z y z y s y s y s s            = +                           + +                2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 z x z y x z x x s s x y s s x z x z y y z y y x s s s y y s          =  +  +                       +  +  +             

≈Cz(x\+0 r ay ds as az ax ay axis az ay z.02x,0z 十 十 ay2(as) ax as2 ay as 同理可得 02z02z(0x az ax a +2 at2 0x2 at oxay ot at az 8 az ax az a 十 0y2(O 2 ox at 2 J

前页 后页 返回 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 . z x z x y x s x y s s z y z x z y y s s s x y        = +                     + +  +         2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ; z z x z x y t x t x y t t z y z x z y y t t t x y         = +                      + +  +         同理可得