第一章统计推断准备 0.预备知识 0.1大数定律与中心极限定理 阐明大量随杋现象平均结果的稳定性的一系列定理统 称大数定律,而研究独立随机变量的和的极限分布在 什么条件下为正态分布的一类定理叫中心极限定理。 0.1.1车贝雪夫不等式 设随机变量5有期望E和方差D,则对任意>0,有 P∥5-E引|≥}≤
第一章 统计推断准备 0.预备知识 0.1 大数定律与中心极限定理 阐明大量随机现象平均结果的稳定性的一系列定理统 称大数定律，而研究独立随机变量的和的极限分布在 什么条件下为正态分布的一类定理叫中心极限定理。 0.1.1车贝雪夫不等式 设随机变量 有期望 和方差 ，则对任意 ，有 2 D P E − E D 0
0.12大数定律 定义:若5,k2…,5n,随机变量序列,如果存在常 数列a,a2 使得对任意的E>0有 lim ∑ n→∞O 成立,则称随机变量序列{5n}服从大数定律 定理1(贝努里大数定律)设灿是n重贝努里试验 中事件A出现的次数,又A在每次试验中出现的 概率为p(0p<1),则对任意的a>0,有: -p<a
0.1.2大数定律 定义：若 随机变量序列，如果存在常 数列 使得对任意的 有 成立，则称随机变量序列 服从大数定律. 定理1（贝努里大数定律）设 是n重贝努里试验 中事件A出现的次数，又A在每次试验中出现的 概率为p（0<p<1），则对任意的 ，有： 1 2 , ,..., ,... n 1 2 , ,..., ,... n a a a 0 1 1 lim 1 n i n n i P a n → = − = n n 0 lim 1 n n P p n → − =
定理2(车贝雪夫大数定律)设5,52,5”…是一列两两不相 关的随机变量,又设他们的方差有界,既存在常数C>0 使有D≤C,i=12,则对任意的E>0,有 lim p ∑5-∑E< n→)00 1 例1:设52,5n.为独立同分布的随机变量序列,均服 从参数为λ的泊松分布E=2,DB=,=12,则 lim P1y5-4<a 定理3(辛钦大数定律)设5,52,,2是一列独立同分布的 随机变量,且数学期望存在,EF=a,DE≤C,i=1,2, 则对任意的E>0有 lim p al<a n→)
定理2（车贝雪夫大数定律）设 是一列两两不相 关的随机变量，又设他们的方差有界，既存在常数C>0， 使有 则对任意的 ，有 例1.： 设 为独立同分布的随机变量序列，均服 从参数为 的泊松分布 则 定理3（辛钦大数定律）设 是一列独立同分布的 随机变量，且数学期望存在， 则对任意的 有 1 2 , ,..., ,... n , 1,2,... D C i i = 0 1 1 1 1 lim 1 n n i i n i i P E n n → = = − = 1 2 , ,..., ,... n , , 1,2,... E D i i i = = = 1 1 lim 1 n i n i P n → = − = 1 2 , ,..., ,... n 0 1 1 lim 1 n i n i P a n → = − = Ei = a,Di C,i =1,2,
0.1.3中心极限定理 定理1(林德贝格勒维定理)若552…,5n是独立同分布 的随机变量序列,且Ek=a,D5k=a2>0.k=12,…则随机变 量n=5-m,其中S=∑5的分布函数E(x)对一切x, nO 有 lim F(x=lim P(n < x)=lim pl on-na <X e 2 dt n→0 n→) vno 2丌 即随机变量m渐近地服从标准正态分布 定理2(德莫佛-拉普拉斯定理)设是n重贝努里试验中 事件A出现的次数,而0<p<1是事件A在每次试验中出现 的概率,则m渐近的服从正态分布N(m,m,其中q=1-p 或 lim pin, -np <X dt n→00
0.1.3.中心极限定理 定理1（林德贝格-勒维定理）若 是独立同分布 的随机变量序列，且 则随机变 量 ，其中 的分布函数 对一切x， 有： 即随机变量 渐近地服从标准正态分布。 定理2（德莫佛-拉普拉斯定理）设 是n重贝努里试验中 事件A出现的次数，而0<p<1是事件A在每次试验中出现 的概率，则 渐近的服从正态分布 ，其中q=1-p 或 2 n n S na n − = 1 2 , ,..., ,... n 2 , 0, 1,2,... E a D k k k = = = 1 n n i i S = = F x n ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 lim lim lim 2 t x n n n n n n S na F x P x P x e dt n − → → → − − = = = n n N np npq ( , ) 2 2 1 lim 2 t x n n np P x e dt npq − → − − = n
例2:有一批建筑房屋用的木柱,其中80%的长度 不小于3米,现从这批木柱中随机地取出100根, 问其中至少有30根短于3米的概率是多少? 例3:某车间有200台车床,独立工作,开工率为 0.6,开工时耗电各为1000瓦,问供电部门至少 要供给这个车间多少电力才能使99,9%的概率保 证这个车间不会因为供电不足而影响生产。 例4:一加法器,同时收到20个噪声电压 设他们是相互独立的,且在区间(0,10)上服 从均匀分布的随机变量,记U=之U,求 P(U>105 U2k=1,2,…,20
例2：有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的长度 不小于3米，现从这批木柱中随机地取出100根， 问其中至少有30根短于3米的概率是多少？ 例3：某车间有200台车床，独立工作，开工率为 0.6，开工时耗电各为1000瓦，问供电部门至少 要供给这个车间多少电力才能使99.9%的概率保 证这个车间不会因为供电不足而影响生产。 例 4 ： 一 加 法 器 ， 同 时 收 到 2 0 个 噪 声 电 压 设他们是相互独立的，且在区间（0，10）上服 从均匀分布的随机变量，记 ，求 , 1,2,...,20 U k k = 20 1 k k U U = = P U( 105)