专题三相似三角形基本模型
专题三 相似三角形基本模型
类型之一:“A字型 1·如图,在△ABC中,BE平分∠ABC交AC于点E,过点E作EDBC交 AB于点D (1)求证:AEBC=BDAC (2)如果S△ADE=3S△BDE=2,DE=6求BC的长 E
类型之一：“A”字型 1．如图，在△ABC中，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作ED∥BC交 AB于点D. (1)求证：AE·BC＝BD·AC； (2)如果S△ADE ＝3，S△BDE ＝2，DE＝6，求BC的长．
解:(1)证明:∵BE平分∠ABC,∴∠DBE=∠CBE,又∴ED∥BC AE DE △ADE∽△ABC,∠DEB=∠CBE…∴ A C BC,BD=DE,AE.BC BD·AC(2)∵S△ADE=3,S△BDE=2’∴ ABDE BD2 ADA0 △ ADE AD3 D+ BD AD 3 DE AD 3 AB=5∵△ADE∽△ABC’·BC=AB-5 ,∵DE=6,∴BC=10
解：(1)证明：∵BE 平分∠ABC，∴∠DBE＝∠CBE，又∵ED∥BC， ∴△ADE∽△ABC，∠DEB＝∠CBE，∴ AE AC＝ DE BC，∵BD＝DE，∴AE·BC ＝BD·AC (2)∵S△ADE＝3，S△BDE＝2，∴ S△ADE S△BDE ＝ AD BD＝ 3 2 ，即 AD AD＋BD＝ AD AB＝ 3 5 ，∵△ADE∽△ABC，∴ DE BC＝ AD AB＝ 3 5 ，∵DE＝6，∴BC＝10
2·如图,在R△ACB中,∠C=90°,AC=4cm,BC=3cm,点P由B 出发沿BA方向向点4匀速运动,速度为1cms;点Q由A点出发沿AC方 向向点C匀速运动,速度为2cm连结PQ,若设运动的时间为s)(0<t <2),当t为何值时,以4,P,Q为顶点的三角形与△ABC相似? B A→-Q
2．如图，在Rt△ACB中，∠C＝90° ，AC＝4 cm，BC＝3 cm，点P由B 出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1 cm/s；点Q由A点出发沿AC方 向向点C匀速运动，速度为2 cm/s.连结PQ，若设运动的时间为t(s)(0＜t ＜2)，当t为何值时，以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？
解:在Rt△ABC中,AB=BC2+AC2=5,由题意知:AP=5 AQ AP 2t t,AQ=2t⑦若△APQ∽△ABC,则 AC 5 7 ②若△APQ∽△ACB,则 AQ AP 2t 5-t 5 AB=AC'∴5=4t=13综上所述 10 5 当t=7S式t=13时,以A,P,Q为顶点的三角形与△ABC相似
解：在 Rt△ABC 中，AB＝ BC2＋AC2＝5，由题意知：AP＝5 －t，AQ＝2t.①若△APQ∽△ABC，则 AQ AC＝ AP AB，∴ 2t 4 ＝ 5－t 5 ，∴t＝ 10 7 ， ②若△APQ∽△ACB，则 AQ AB＝ AP AC，∴ 2t 5 ＝ 5－t 4 ，∴t＝ 25 13，综上所述， 当 t＝ 10 7 s 或 t＝ 25 13s 时，以 A，P，Q 为顶点的三角形与△ABC 相似．