证(2)记Sn=∑4,Gn=∑vk k=1 k=1 0≤ln=vn 0<S<G 若∑l,发散,则部分和S无界,从而∑vn n=1 的部分和(Gn也天界,故级数∑vn发散
记 , 1 = = n k Sn uk , 1 = = n k n k G v 0 un vn (n = 1, 2, …) 0 Sn Gn , , 1 1 + = + = n n n n n 若 u 发散 则部分和S 无界 从而 v , . 1 的部分和 也无界 故级数 发散 + n= n n G v 证 (2)
例2判断级数∑2”sin2的敛散性(0<x<3n) 2 解由于0<2si<2 又∑ X=x ∑ n=1 由等比级数的敛散性可知:原级数收敛
判断级数 + =1 3 2 sin n n n x 的敛散性. ( 0 < x < 3 ) 由于 , 3 2 3 2 3 0 2 sin x x x n n n n n = 又 , 3 2 3 2 1 1 + = + = = n n n n x x 由等比级数的敛散性可知：原级数收敛. 解 例2
例3讨论P级数∑(P>0)的敛散性 解当p=1时,P级数为调和级数∑ 它是发散的 当0<p<1时,有0<一< nn P 由比较判别法.P级数此时是发散的 故P≤1时,P级数是发散的
讨论 P 级数 + =1 1 n p n ( p > 0 ) 的敛散性. 当 p＝1时, P 级数为调和级数: , 1 1 + n= n 它是发散的. 当 0 < p < 1 时, 有 , 1 1 0 p n n 由比较判别法, P 级数此时是发散的. 解 故 p 1时, P 级数是发散的. 例3
当p丬1时,按1,2,2,23,,2n,项 对P级数加括号.不影响其敛散性 =1 —+∴ 2p3 4P5 7 -+∴ 89 而 2P3 22」2
当 p >1 时, 按 1, 2, 22 , 23 , …, 2n , …项 7 1 5 1 4 1 3 1 2 1 1 1 1 + + + + = + + + = p p p p p n p n 而 1 2 1 2 1 2 1 3 1 2 1 − = + + p p p p p 对 P 级数加括号, 不影响其敛散性： + + + + + p p p 15 1 9 1 8 1
4 4 4 2 1×、<8 9 5 8 8 2
+ + + p p p p 4 1 4 1 4 1 4 1 + + + p p p 7 1 5 1 4 1 + + + p p p 15 1 9 1 8 1 + + + p p p 8 1 8 1 8 1 …………………………………… 2 1 1 2 1 4 1 = = p− p− 3 1 1 2 1 8 1 = = p− p−