于是.P级数加括号后生成的级数的每一项均 小于以卩=,<1为公比的等比级数的相应项 2 故当p>1时,P级数收敛 综上所述 当p>1时,P级数收敛 当p≤1时,P级数发散
故当 p >1 时, P 级数收敛. 综上所述: 当 p > 1 时, P 级数收敛. 当 p 1 时, P 级数发散. 于是, P级数加括号后生成的级数的每一项均 1 , 2 1 小于以 r = p−1 为公比的等比级数的相应项
4.比较判别法的极限形式 设和为两个正项级数且Vn≠0(m=1,2 或从某一项N开始)若limm=,则 (1)0<元<+∞时,∑n与∑n具有相同的敛散性 n= +∞ (2)=0时,∑vn收敛→∑ln收敛 n=1 (3)2=+0时,∑发散→∑n发散 n=1 n-
4.比较判别法的极限形式 , v 0 (n =1, 2, ; 设和为两个正项级数 且 n ). lim , 或从某一项 0 开始 若 = 则 → n n n v u N (1) 0 , . 1 1 时 与 具有相同的敛散性 + = + = + n n n n u v (2) 0 , . 1 1 时 收敛 收敛 + = + = = n n n vn u (3) , . 1 1 时 发散 发散 + = + = = + n n n vn u
证(1)由于lm=(0<<+∞0) 故V>0.彐N>0.当n>N时 几<E成立,即 (-E)v (+E) 不妨取6′?则彐N当n>N、时 3 V<<—V 2 远用比较判别法可知,当0<1<+∞时 ∑un与∑vn具有相同的敛散性
由于 = → n n n v u lim ( 0 < < + ) 故 > 0, N > 0, 当 n >N 时, − 成立，即 n n v u n n n ( −)v u ( + )v 不妨取 ， 2 = n n n v u v 2 3 2 运用比较判别法可知, + = + =1 n 1 n n n u 与 v 具有相同的敛散性. 证(1) , , 则 N0 当 n N0 时 当 0 < < + 时
证(2)由于im"=0(=0) 取￡=1时,彐N>0.当n>N时 <1.即 0≤L.< n 2 故由比较判别法,当λ=0时, ∑vn收敛→∑n收敛 n=1
由于 lim = 0 → n n n v u ( = 0 ) 取 =1 时, N > 0, 当 n > N 时, 1, 即 n n v u 故由比较判别法, 当 = 0 时, . 1 1 收敛 收敛 + = + = n n n vn u 证(2) 0 , n n u v
证(3)由于lm"=+(=+00) n→) 故VM>0(不妨取M>1),彐N>0,当n>N时, 1,/M>1 即 0≤vn<ln 由比较判别法,当λ=+00时 vn发散→>∑un,发散 n=1
由于 = + → n n n v u lim ( = + ) M > 0 (不妨取 M > 1) , M 1 v u n n 即 由比较判别法, 发散 1 + n= n v 证(3) 故 发散 1 + n= un N > 0, 当 n > N 时, 当 = + 时, 0 vn < un