1.正项级数的定义 定义若级数〉,满足 ln≥0)(m=1,2,…), 则称之为正项级数 实质上应是非负项级数
1.正项级数的定义 若级数 + n=1 un 则称之为正项级数. 定义 满足 u 0 (n =1, 2, ), n 实质上应是非负项级数
2.正项级数收敛的充要奈件 定理 正项级数∑ln收鲛←→ 它的部分和数列Sn}有界 正项级数的部分和数列是单调増加的 单调有界的数列必有极限 在某极限过程中有极限的量必界
收敛 1 + n= un 2.正项级数收敛的充要条件 正项级数 {Sn} 有界. 定理 它的部分和数列 正项级数的部分和数列是单调增加的 单调有界的数列必有极限 在某极限过程中有极限的量必界
例 级数 是否收敛? n=1 2+1 解该级数为正项级数,又有 +12n(n=1,2, 2 故当n>1时,有 n ∑ <1 2k+1 即其部分和数列S}界,从而,级数∑,,收敛
级数 是否收敛？ + =1 2 +1 1 n n 该级数为正项级数, 又有 n n 2 1 2 1 1 + (n =1, 2, …) 故 当n 1 时, 有 = = + = n k k n k n k S 1 1 2 1 2 1 1 即其部分和数列 {Sn} 有界, 从而, 级数 . 2 1 1 1 收敛 + n= + n 解 2 1 1 2 1 1 2 1 − − = n 1 2 1 =1− n 例1
3.正项级数敛散性的比较判别法 设有正项级数∑ln与∑vn 且0≤ (n=1,2,…) 若∑,收敛则∑ 收敛 n=1 (2)若∑n发散,则∑V发 大收小收.小发大发
3. 正项级数敛散性的比较判别法 且 0 un vn ( n = 1, 2, … ) , 1 1 + = + = n n n n 设有正项级数 u 与 v (1) , . 1 1 若 收敛 则 收敛 + = + = n n n vn u (2) , . 1 1 若 发散 则 发散 + = + = n n n n u v 大收小收, 小发大发
证(1)记S=∑,G=∑v k=1 k=1 0≤ln≤vn(n=1,2, ∴0≤S≤Gn 若∑,收则部分和Gn有界 从而的部分和S也有界 故级数〉u,收敛 n=1
记 , 1 = = n k Sn uk , 1 = = n k n k G v 0 un vn (n = 1, 2, …) 0 Sn Gn 证 (1) , , 1 若 收敛 则部分和 n 有界 n vn G + = , 1 从而 的部分和 n 也有界 n un S + = . 1 故级数 收敛 + n= un