证明 (1),'Ax=入x .k(Ax)=k(2x)→(kMx=(k兄)x (2),Ax=九x .A(Ax)=A(Ax)=(Ax)=(x)=Ax=x 再继续施行上述步骤m-2次，就得Amx=入"x (3) 当A可逆时，必有入≠0.否则 =0x=0 →A=0.与题设矛盾。 x≠0 由Ax=x→A(Ax)=A(x)=九x →Ax=入x 11
11 (1) Ax x = = = k Ax k x kA x k x ( ) ( ) ( ) ( ) (2) Ax x = A(Ax) = A(x) = (Ax) = (x) A x x 2 2 = 再继续施行上述步骤 m− 2 次，就得 A x x m m = （3） 当 A 可逆时，必有 0. 否则 0 0 | | 0. 0 Ax x A x = = = 与题设矛盾。 由 ( ) ( ) 1 1 1 Ax x A Ax A x A x − − − = = = A x x −1 −1 = 证明
回顾=A,当广的特征值为入时， ,A的特征值为，kA1的特征值为k入1， 的特征值为A2=4 (4)设f0=aE+a4+,千++. 则f4)x=(a,E+aA+a,4++anAr）x =a,(Ex)+4,(Ax)+a2(Ax)+…+an(A"x) =x+a1(2x)+a2(22x)++an(2"x) =(a,+a,+a,22++an2"）x=f2)x 12
12 回顾 * 1 A A A | | , − = 1 A − 的特征值为 1 , − 当 的特征值为 A 时， 1 kA− 的特征值为 1 k , − * A 的特征值为 1 | | | | . A A − = ( 4 ) 设 2 0 1 2 ( ) . n n f A a E a A a A a A = + + + + ( ) ( ) 2 0 1 2 2 0 1 2 2 0 1 2 2 0 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n n n n n f A x a E a A a A a A x a Ex a Ax a A x a A x a x a x a x a x a a a a x f x = + + + + = + + + + = + + + + = + + + + = 则