电子科技大学：《数学物理方程与特殊函数 Mathematical Physics Equations with Special Function》课程教学资源（课件讲稿）第四章 行波法（1/3）

f)-a+云ek+)-) o=*云a国+)6】 56)=)-2a()k-L)6cl (x+a)v(+ u(x,t)=f(x+at)+2(x-at…(3) (e-)2a(-L)-f】 ↓ f(-a叫-x-am02av()-x月 根据(3)得到定解问题的解为： x0-o+a）+o(-am]+2(o

            0 0 1 1 0 2 0 2 1 0 2 0 1 1 1 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 1 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 x x x x f x x x dx f x f x a f x x x dx f x f x a                          0 1 1 0 2 0 1 1 1 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 x x f x x x dx f x f x a             0 1 1 0 2 0 1 1 1 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 x at x f x at x at x dx f x f x a                 0 2 1 0 2 0 1 1 1 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 x x f x x x dx f x f x a             0 2 1 0 2 0 1 1 1 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 x at x f x at x at x dx f x f x a           1 2 u x t f x at f x at ( , ) ( ) ( ) (3)     根据 (3)得到定解问题的解为：       . . 1 1 ( , ) (6) 2 2 x at x at u x t x at x at x dx a               

x0=[(x+a)+ox-an]+』y(6)k6 公式(6)称为达朗贝尔公式。 注：上面方法称为行波法。 u=au.(x∈Rt>0).(ID 例1、无限长静止弦在点xX受到冲击，冲量 4=o=p(x),4,-0=w(x)(2) 为〡，弦的密度为P。试求解弦的振动。 解：定解问题为： 可直接代 入达朗贝 4-aum=0,(-o0<x<+oo,t>0) 尔公式求 4-o=0,(-0<x<+∞) 解 ls(e-)(<<四)

公式(6)称为达朗贝尔公式。       . . 1 1 ( , ) (6) 2 2 x at x at u x t x at x at x dx a                注：上面方法称为行波法。 2 0 0 ( , 0) 1 ( ) ( ) 2 tt xx t t t u a u x R t u x u x              （ ） 例1、无限长静止弦在点x=x0 受到冲击，冲量 ， （ ） 为 I ，弦的密度为 ρ。试求解弦的振动。 解：定解问题为：         2 0 0 0 0, , 0 0, , tt xx t t t u a u x t u x I u x x x                               可直接代 入达朗贝 尔公式求 解   0 0 0 1 ( , ) ( ) 2 2 x at x x at x at x x at I I u x t x x d x dx a a                

(二)、无限长弦的纯强迫振动定解问题 W(M,t,r) &0=Lo.(MeR.1>T) 无限长弦在纯强迫力f(x,t)引起的振动定解问题为： un =a'uss +f(x,t)(x E R,t>0) u-o=0,4,l-o=0 u=r(M,)dz→ g=u+f(M,40.(M∈R',>0) 4=00l=0 分析：可以用齐次化原理1求解！ 解：对应的齐次化问题为： Wn=aW(x∈R,t>t) t'=t-T Wm=aW.(x∈R,t'>0) W==0,W==f(x,t) Wlr=o=0,W lr=o=f(x,t)(xE R) 达朗贝尔 公式 r(x)=2aJfxnd

分析：可以用齐次化原理1求解！ 2 0 0 ( , )( , 0) 0, 0 tt xx t t t u a u f x t x R t u u             (二) 、无限长弦的纯强迫振动定解问题 无限长弦在纯强迫力f(x,t)引起的振动定解问题为：   2 3 2 ,( , ) 0, , t t L M R t t f M t                           2 3 2 0 0 , ,( , 0) t t 0, 0 u Lu f M t M R t t u u t                    . .0 , ; t u W M t d     W M t  , ;  解：对应的齐次化问题为： 2 ( , ) 0, ( , ) tt xx t t t W a W x R t W W f x                t t    2 0 0 ( , 0) 0, ( , )( ) t t xx t t t W a W x R t W W f x x R                  达朗贝尔 公式 1 ( , , ) ( , ) 2 x at x at W x t f x dx a         