例1证明f(x)=xD(x)在x=0处连续，其中D(x) 为狄利克雷函数 证因为f(0)=0,D(x)≤1，limx=0,所以 x)0 limf(x)=limxD(x)=0=f(0). c->0 x>0 故f(x)在x=0处连续： 注意：上述极限式绝不能写成 limxD(x)=limxlim D(x)=0. x0 x→0x→0 前顶 后页 返回
前页 后页 返回 为狄利克雷函数. 证 因为 (0) 0, ( ) 1, lim 0, 所以 0 f D x x x lim ( ) lim ( ) 0 (0). 0 0 f x xD x f x x 故 f x x ( ) 0 . 在 处连续 注意:上述极限式绝不能写成 lim ( ) lim lim ( ) 0. 0 0 0 xD x x D x x x x 例1 证明 f x xD x x ( ) ( ) 0 , 在 处连续 其中 D x( )
由上面的定义和例题应该可以看出：函数在点o 有极限与在点x,连续是有区别的.首先f(x)在点 x连续，那么它在点x。必须要有极限（这就是说， 极限存在是函数连续的一个必要条件)，而且还 要求这个极限值只能是函数在该点的函数值. 类似于左、右极限，下面引进左、右连续的概念
前页 后页 返回 由上面的定义和例题应该可以看出: 函数在点 x0 类似于左、右极限，下面引进左、右连续的概念. 要求这个极限值只能是函数在该点的函数值. 极限存在是函数连续的一个必要条件)，而且还 x0 连续，那么它在点 x0 必须要有极限(这就是说, 有极限与在点 x0 连续是有区别的. 首先 f (x) 在点
定义3设函数f(x)在点x,的某个右邻域U:(x。) (左邻域U_(x)有定义，若 lim f(x)=f(xo)(lim f(x)=f(xo)), xx x→X0 则称f(x)在点x,右（左）连续 很明显，由左、右极限与极限的关系以及连续函数 的定义可得： 定理4.1函数f(x)在点x连续的充要条件是：f在 点x,既是左连续，又是右连续 前顶 后页 返回
前页 后页 返回 定义3 0 0 f x x U x ( ) ( ) 设函数 在点 的某个右邻域 lim ( ) ( ) ( lim ( ) ( )), 0 0 0 0 f x f x f x f x x x x x 0 则称 f x x ( ) ( ) . 在点 右 左 连续 很明显, 由左、右极限与极限的关系以及连续函数 点 x 0 既是左连续，又是右连续. 定理4.1 0 函数 f x x ( ) 在点 连续的充要条件是： f 在 ( ( )) 左邻域U x0 有定义，若 的定义可得：
例2讨论函数 x≤0 在x=0处的连续性 解因为 y=x+aa>0 y-x+aa=0 lim f(x)=limx=0=f(0), x>0 y三x+aa<0 所以f在x=0处左连续. 又因为 =x/0 lim f(x)=lim(x+a)=a, x>0 x>0 点击上图动画演示 前
前页 后页 返回 例2 讨论函数 , 0 ( ) , 0 x x f x x a x 在 x 0 . 处的连续性 解 因为 所以 f x 在 0 . 处左连续 又因为 lim ( ) lim( ) , 0 0 f x x a a x x lim ( ) lim 0 (0), 0 0 f x x f x x y x a a 0 x y y x o y x a a 0 y x a a 0 点击上图动画演示
所以，当a≠0时，f在x=0处不是右连续的； 当a=0时，f在x=0处是右连续的. 综上所述，当a=0时f在x=0处连续； 当a≠0时，在x=0处不连续 前顶 后页 返回
前页 后页 返回 综上所述, 当a f x 0 , 0 时 在 处连续； 所以, 当 a f x 0 , 0 时 在 处不是右连续的； 当a 0时，f x 在 0 . 处是右连续的 当a 0时，在 x 0 . 处不连续