二、间断点的分类 定义4设函数f在x,的某（空心）邻域(U(x)内有 定义.若f在点x无定义，或者在点x有定义但却 在该点不连续，那么称点x为函数的一个间断点 或不连续点. 由此，根据函数极限与连续之间的联系，如果f在 点x不连续，则必出现下面两种情况之一： 前顶 返回
前页 后页 返回 二、间断点的分类 定义4 0 0 设函数 f x U x 在 的某( ) ( ( )) 空心 邻域 内有 定义.若f 在点 x0 无定义,或者在点 x0有定义但却 由此,根据函数极限与连续之间的联系, 如果 f 在 点 x0 不连续, 则必出现下面两种情况之一: 或不连续点. 在该点不连续,那么称点 x0 为函数的一个间断点
(①)f在点x。无定义或者在点x,的极限不存在； ()f在点x。有定义且极限存在，但极限值却不 等于fo) 根据上面的分析，我们对间断点进行如下分类： 1.可去间断点：若imf(x)=A存在，而f在点x。 无定义，或若有定义但f(x)≠A,则称x,是f的 一个可去间断点 前顶 后页 返回
前页 后页 返回 0 0 (i) ; f x x 在点 无定义或者在点 的极限不存在 等于f (x0 ). 0 (ii) , f x 在点 有定义且极限存在 但极限值却不 根据上面的分析, 我们对间断点进行如下分类： 1. 可去间断点: 若 0 lim ( ) , x x f x A 存在 0 而 f x 在点 0 无定义 或者有定义但 , ( ) , f x A 0 则称 x f 是 的 一个可去间断点
2.跳跃间断点：若Iimf(x)=A,imf(x)=B C->xo x-→xt 都存在，但A≠B,则称点x,为f的一个跳跃间断 点 可去间断点和跳跃间断点统称为第一类间断点， 注x,是f的跳跃间断点与函数f在点x是否有定 义无关 3.第二类间断点：若f在点x的左、右极限至少 有一个不存在，则称x。是f的一个第二类间断点 前
前页 后页 返回 2. 跳跃间断点：若 lim ( ) , 0 f x A x x 0 lim ( ) x x f x B 0 都存在 但, , A B 则称点 为 的一个跳跃间断 x f 注 x0 是 f 的跳跃间断点与函数 f 在点 x0 是否有定 点. 3. 第二类间断点: 若 f 在点 x0 的左、右极限至少 可去间断点和跳跃间断点统称为第一类间断点. 义无关. 0 有一个不存在, 则称 x f 是 的一个第二类间断点
3试函数fc)=， 在x=0处不连续， 并且x=0是f(x)的一个可去间断点. 证因为 y limf(x)=1≠f(0), 0 1 所以x=0是f(x)的 一个可去间断点. 前顶 后页 返回
前页 后页 返回 证 因为 一个可去间断点. 例3 在 x 0处不连续， 0 0 1 0 ( ) x x 试证函数 f x 所以 x f x 0 ( ) 是 的 并且 x 0 是 f x( ) 的一个可去间断点. 1 x y O 0 lim ( ) 1 (0), x f x f
注1.对于任意函数g(x),若它在x=x,处连续， 那么函数 F()- g(x),x≠xo 4, x=X0 在A≠g(x)时，x,恒为F(x)的一个可去间断点. 前页 后页 返回
前页 后页 返回 0 0 在 A g x x F x ( ) ( ) . 时， 恒为 的一个可去间断点 那么函数 注 0 1. 对于任意函数 g x x x ( ) ,若它在 处连续， 0 0 ( ), ( ) , g x x x F x A x x