例如：f(x)=xsgnx在x=0处连续，这是因为 limxsgnx=0=f(0). x→0 y=xsgnx 前顶 后页 返回
前页 后页 返回 lim sgn 0 (0). 0 x x f x y xsgn x 例如： f (x) xsgn x在 x 0 处连续， 这是因为 x y O
又如：函数 f)=七x≠0 a,x=0 (a≠0) 在x=0处不连续，这是因为limf(x)=0≠f(0) 前顶 后页 返回
前页 后页 返回 在 x 0 , 处不连续 这是因为 lim ( ) 0 (0). 0 f x f x 又如：函数 , 0 ( ) ( 0) , 0 x x f x a a x a x y O
函数f(x)=sgnx在点x=0处不连续，这是因为 极限limsgnx不存在. 由极限的定义，定义1可以叙述为：对于任意正数ε， 存在6>0，当0<|x-x<6时，有 f(x)-f(x)<s. (2) 注意到(2)式在x=x,时恒成立，因此0<x-x<δ 可改写为x-x,<6,这样就得到函数fw)在点x 连续的ε-6定义. 前页 后页 返回
前页 后页 返回 极限 x x limsgn 0 不存在. 由极限的定义,定义1可以叙述为:对于任意正数 , ( ) ( ) . (2) 0 f x f x 函数 f x x x ( ) sgn 0 , 在点 处不连续 这是因为 0 0 注意到(2) , 0 式在x x x x 时恒成立 因此 存在 > 0, 0 当0 | | , x x 时 有 可改写为 0 这样就得到函数 f (x) 在点x0 x x ， 连续的 定义
定义2设f(x)在点x,的某个邻域内有定义.如果 对任意的ε>0，存在6>0，当x-x<6,时 f(x)-f(x)<&, 则称f(x)在点x,连续 为了更好地刻划函数在点的连续性，下面引出 连续性的另外一种表达形式。 设△x=x-Xo, Ay=y-Yo=f(x)-f(xo)=f(xo+Ax)-f(xo). 前页 后页 返回
前页 后页 返回 ( ) ( ) , 0 f x f x 0 则称 f x x ( ) . 在点 连续 连续性的另外一种表达形式. 定义2 0 设 f x x ( ) . 在点 的某个邻域内有定义 如果 0 为了更好地刻划函数在点x 的连续性, 下面引出 , 设 x x x0 ( ) ( ) ( ) ( ). 0 0 0 x0 y y y f x f x f x x f 对任意的 0, 存在 0, 当 x x 0 , 时
则函数在点x,连续的充要条件是： lim△y=0. (3) △x0 这里我们称△x是自变量（在x,处）的增量，△y为相 应的函数（在y处）的增量 前页 后页 返回
前页 后页 返回 0 则函数在点 x 连续的充要条件是 : lim 0. (3) 0 y x 应的函数(在 y0 处)的增量 0 这里我们称 x x y 是自变量( ) , 在 处 的增量 为相