第一节导数概念57/0.图 2-4图2-5五、单侧导数(xg+Ar)-()存在，定义4若函数y=J(x)在x的某左邻域(x-8,x)内有定义，且limAx则称(x)在点x处左可导，其极限值称为(x)在点x的左导数，记作F(x），即f(x +Ar)- (xo)J(x)= lim AxAr-→0(x+Ar)-(x）存在，则称若函数y=f(x)在点的某右邻域(x,+)内有定义，且limArf(x)在点x处右可导，其极限值称为f(x)在点x的右导数，记作J(x).即f(xo +Ax)-f(x)f(x)= lim Ax由函数f(x)在点x处的导数F(x）是一个极限，又极限存在的充要条件是左右极限存在并且相等。由此得到定理2函数f(x)在点x处可导的充要条件是左、右导数存在并且相等.左导数与右导数统称为单侧导数，主要用于讨论区间端点或分段函数分段点的导数存在问题例9函数x+0xsin-f(x)=to,x=0在（-0.+0）内连续，但在x=0处不可导，因为在x=0处，有1Ar·sin01f(Ax)-f(0)Ar*(0) = lim= lim= lim sin-AxArAxr不存在，所以f(x）在x=0不可导例10设sinx,x<0f(x):x≥0求f(x).解对于分段表示的函数，求它的导函数时需要分段进行，在分点处的导数，则通过讨论它的单侧导数以确定它的存在性，当x<0时，f(x)=(sinx)=cosx，当x>0时，J(x)=(x)=l，当x=0时，由于x-0sinx-0'(0)= limf^(0) = lim1.xx于是f(0)=1，所以fcosx,x<0f'(x)=11.x≥0
第一节 导数概念 57 图 24 图 25 五、单侧导数 定义 4 若函数 y = f (x) 在 0 x 的某左邻域 0 0 (x -d , x ) 内有定义，且 0 0 0 ( ) ( ) lim x f x x f x x - D Æ + D - D 存在， 则称 f (x) 在点 0 x 处左可导，其极限值称为 f (x) 在点 0 x 的左导数，记作 0 f (x ) - ¢ ，即 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim x f x x f x f x x - - D Æ + D - ¢ = D ． 若函数 y = f (x) 在点 0 x 的某右邻域 0 0 (x , x + d ) 内有定义，且 0 0 0 ( ) ( ) lim x f x x f x x + D Æ + D - D 存在，则称 f (x) 在点 0 x 处右可导，其极限值称为 f (x) 在点 0 x 的右导数，记作 0 f (x ) + ¢ ．即 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim x f x x f x f x x + + D Æ + D - ¢ = D ． 由函数 f (x) 在点 0 x 处的导数 0 f ¢(x ) 是一个极限， 又极限存在的充要条件是左右极限存在并且相 等．由此得到 定理 2 函数 f (x) 在点 0 x 处可导的充要条件是左、右导数存在并且相等． 左导数与右导数统称为单侧导数．主要用于讨论区间端点或分段函数分段点的导数存在问题． 例 9 函数 1 sin , 0 ( ) 0, 0 x x f x x x Ï Ô ¹ = Ì Ô Ó = 在(-•,+•) 内连续，但在 x = 0 处不可导，因为在 x = 0 处，有 0 ( ) (0) (0) lim x f x f f x + + D Æ D - ¢ = D 0 0 1 in 0 1 lim lim in x x x s x s x x + + D Æ D Æ D × - D = = D D 不存在，所以 f (x) 在 x = 0 不可导． 例 10 设 sin , 0 ( ) , 0 x x f x x x Ï < = Ì Ó ³ ， 求 f ¢ (x) ． 解 对于分段表示的函数，求它的导函数时需要分段进行，在分点处的导数，则通过讨论它的 单侧导数以确定它的存在性． 当 x < 0 时， f ¢(x) = (sin x)¢ = cos x ，当 x > 0 时， f ¢(x) = (x)¢ =1，当 x = 0 时，由于 0 sin 0 (0) lim 1 x x f x - Æ - - ¢ = = ， 0 0 (0) lim 1 x x f x + Æ + - ¢ = = 于是 f ¢ (0) = 1，所以 cos , 0 ( ) 1, 0 x x f x x Ï < ¢ = Ì Ó ³ ．
58第2章导数与微分定义5若函数f(x)在(a,b)内可导，且"(a)及f(b)都存在，则称f(x)在[a,b)上可导.例11函数f(x)=x在(-00,+o)内连续，但在x=0处不可导，因为在x=0处，有=-1, J(0)= lim ±-0 -x-0alJ'(0) = lim -xx即f(0)f(0)，所以f(x）在x=0不可导，注意函数f(x)连续，如果f(x)在点x的左右导数都存在，但f"(x)+f"(x)，则称点x为函数f(x)的角点，它是f(x)的不可导点（图2-5).例12函数f(x)=/在(-8,+o)内连续，但在x=0处不可导，因为在x=0处，有1-0f(0) = limlim=limx-0X→0x派-01f'(0)= limlimlimx-0xVx即f(0）=80，所以f(x）在x=0不可导注意如果f(x)=0，且在x的两个单侧导数符号相反，则x称为函数f(x)的尖点，函数的尖点是不可导点（图2-6）1JR0图2-6例13证明函数x'sin-x±0f(x)=(o.x=0在x=0处可导，因为在x=0处，有11-0(Ar).sinsin-1f(Ar)-f(O)ArAr=l,J(0)= lim = lim=limAxsin= limAxAx1Ar→0*Ar0*AxAr→0*Ar0*Ar11(Ax).sin0sinIf(Ar)- f(O)AxrAr=l,f(0)= lim=lim=lim Axsin= lim1AxAxAr>0Ar0Ar-→0ArAx-→0Ax所以f(x)在x=0可导
58 第 2 章 导数与微分 定义 5 若函数 f (x) 在(a,b ) 内可导，且 f (a) + ¢ 及 f (b) - ¢ 都存在，则称 f (x) 在[a,b ]上可导． 例 11 函数 f (x) = x 在(-•,+•) 内连续，但在 x = 0 处不可导，因为在 x = 0 处，有 0 0 (0) lim 1, x x f x - Æ - - - ¢ = = - 0 0 (0) lim 1 x x f x + Æ + - ¢ = = 即 f (0) f (0) - + ¢ ¹ ¢ ，所以 f (x) 在 x = 0 不可导． 注意 函数 f (x) 连续，如果 f (x) 在点 0 x 的左右导数都存在，但 0 0 f (x ) f (x ) - + ¢ ¹ ¢ ，则称点 0 x 为函 数 f (x) 的角点，它是 f (x) 的不可导点（图 25） ． 例 12 函数 3 2 f (x) = x 在(-•,+•) 内连续，但在 x = 0 处不可导，因为在 x = 0 处，有 3 2 3 2 3 0 0 0 0 1 (0) lim lim lim x 0 x x x x f x x x - Æ - Æ - Æ - - ¢ = = = = -• - ， 3 2 3 2 3 0 0 0 0 1 (0) lim lim lim x 0 x x x x f x x x + Æ + Æ + Æ + - ¢ = = = = +• - ， 即 f ¢ (0) = • ，所以 f (x) 在 x = 0 不可导． 注意 如果 0 f ¢(x ) = • ，且在 0 x 的两个单侧导数符号相反，则 0 x 称为函数 f (x) 的尖点，函数的 尖点是不可导点（图 26） ． 图 26 例 13 证明函数 1 sin , 0 ( ) 0, 0 x x f x x x Ï Ô ¹ = Ì Ô Ó = 2 在 x = 0 处可导． 因为在 x = 0 处，有 0 ( ) (0) (0) lim x f x f f x + + D Æ D - ¢ = D 2 0 0 1 ( ) sin 0 1 lim lim sin x x x x x x x + + D Æ D Æ D × - D = = D D D 0 1 sin lim 1 x 1 x x + D Æ D = = D ; 0 ( ) (0) (0) lim x f x f f x - - D Æ D - ¢ = D 2 0 0 1 ( ) sin 0 1 lim lim sin x x x x x x x - - D Æ D Æ D × - D = = D D D 0 1 sin lim 1 x 1 x x - D Æ D = = D ， 所以 f (x) 在 x = 0 可导．
59第二节函数的求导法则第二节函数的求导法则从导数定义出发，我们已经推出了几个基本初等函数的导数公式对于一般函数来说，当然也可以从导数定义出发求出它的导数，但这样既麻烦又困难，本节我们再根据导数定义，推出几个主要的求导法则（导数的四则运算、反函数的导数与复合函数的导数）借助于这些法则和上节导出的基本初等函数的导数公式，可以较快的解决其它一些基本初等函数的导数公式，在此基础上解决初等函数的求导问题。一、函数四则运算的求导法则定理1设函数u=u(x)与v=v(x)都在点x处可导，则它们的和、差、积、商(除分母为零的点外)都点x处可导，且有I)(utv)'=u'+';2)(uv)=uv+uw';uy-'3v2证1)令y=u+v，则Ay=[u(x+Ax)+v(x+Ar)]-[u(x)+v(x)]=△u+△v：从而有limm+lim=u(x)+v(x) .Ar-0 AxAr-0 ArAr→0 Ax所以y=u+v在点x处也可导，且(u+)=u+。类似可证(u-)=u-.2）令y=w，则Ay=u(x+Ar)v(x+△x)-u(x)v(x)=[u(x+Ax)-u(x)v(x+Axr)+u(x)[v(x+Ax)-v(x)]=u-(x+Ar)+u(x)-v.由于可导必连续，故有lim(x+Ax）=v(x)，从而推出mm(+)+（)m）AyAy=limlim-=u(x)(x)+u(x)v(x) .Ar-0AxAr-0ArAr->0Ar-0Ar所以y=uw在点x处也可导，且有（uw）=uv+.，则令y=-117V11(x+Ax)-V(x)Ay:(x+Ax) v(x)v(x+Ar)v(x)lim(x+△x)=v(x)±0，故有由于v(x)在点x处可导，1Ay -v(a)y所以y=-在点x处可导，从而由2)推出12
第二节 函数的求导法则 59 第二节 函数的求导法则 从导数定义出发，我们已经推出了几个基本初等函数的导数公式．对于一般函数来说，当然 也可以从导数定义出发求出它的导数，但这样既麻烦又困难．本节我们再根据导数定义，推出几个 主要的求导法则（导数的四则运算、反函数的导数与复合函数的导数）．借助于这些法则和上节导 出的基本初等函数的导数公式，可以较快的解决其它一些基本初等函数的导数公式，在此基础上解 决初等函数的求导问题． 一、函数四则运算的求导法则 定理 1 设函数u = u(x) 与v = v(x) 都在点 x 处可导，则它们的和、差、积、商(除分母为零的点 外)都点 x 处可导，且有 1) (u ±n ) ¢ = u¢ ± v¢ ； 2) (uv) ¢ = u¢v + uv¢； 3) 2 u u v uv v v ¢ Ê ˆ ¢ - ¢ Á ˜ = Ë ¯ ． 证 1) 令 y = u + v ，则 Dy =[u(x + Dx) + v(x + Dx)]-[u(x) + v(x)] = Du + Dv ．从而有 0 0 0 lim lim lim ( ) ( ) x x x y u v u x v x D Æ x D Æ x D Æ x D D D = + = ¢ + ¢ D D D ． 所以 y = u + v 在点 x 处也可导，且(u +n ) ¢ = u¢ + v¢ ． 类似可证(u -n ) ¢ = u¢ - v¢． 2) 令 y = uv ，则 Dy = u(x + Dx)v(x + Dx) -u(x)v(x) =[u(x + Dx) -u(x)]v(x + Dx) + u(x)[v(x + Dx) - v(x)] = Du × v(x + Dx) + u(x)×D v ． 由于可导必连续，故有 0 lim ( ) ( ) x v x x v x D Æ + D = ，从而推出 0 0 0 0 lim lim lim ( ) ( ) lim x x x x y u v v x x u x D Æ x D Æ x D Æ D Æ x D D D = × + D + × D D D = u¢(x)v(x) + u(x)v¢ (x) ． 所以 y = uv 在点 x 处也可导，且有(uv) ¢ = u¢v + uv¢． 3) 先证 2 1 v v v ¢ Ê ˆ ¢ Á ˜ = - Ë ¯ ． 令 1 y v = ，则 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) v x x v x y v x x v x v x x v x + D - D = - = - + D + D ． 由于v(x) 在点 x 处可导， 0 lim ( ) ( ) 0 x v x x v x D Æ + D = ¹ ，故有 2 0 ( ) lim ( ) x y v x D Æ x v x D ¢ = - D ． 所以 1 y v = 在点 x 处可导，且 2 1 v v v ¢ Ê ˆ ¢ Á ˜ = - Ë ¯ ．从而由2) 推出