江画工太猩院 若Ax>0,则有 f(ξ+△x)-f(5) < △r 若△x<0,则有(5+Ax)-f1)、 ∫'()=lim ∫(ξ+△x)-f(2) ≥0 △v ∫()=mf(+△r)-f(0¨f5)存在, A→+0 △r f(9)=f“().∴只有∫(2)=0
江西理工大学理学院 若 ∆x > 0, 0; ( ) ( ) ≤ ∆ ξ + ∆ − ξ x f x f 则有 若 ∆x < 0, 0; ( ) ( ) ≥ ∆ ξ + ∆ − ξ x f x f 则有 0; ( ) ( ) ( ) lim0 ≥ ∆ ξ + ∆ − ξ ∴ ′ ξ = ∆ →− − x f x f f x 0; ( ) ( ) ( ) lim0 ≤ ∆ ξ + ∆ − ξ ′ ξ = ∆ →+ + x f x f f x Q f ′(ξ)存在, ∴ ′(ξ) = ′(ξ). − + f f ∴只有 f ′(ξ) = 0
江画工太猩院 注意若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其 结论可能不成立 例如,y=x,x∈[-2 在|-2,上除∫(0)不存在外,满足罗尔定理 的一切条件,但在区间2,2内找不到一点能 使∫(x)=0 又例如,y= x,x∈(0,1 0.x=0 y=x,x∈10,1
江西理工大学理学院 注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其 结论可能不成立. 例如, y = x , x ∈[−2,2]; , [ 2,2] (0) , 的一切条件 在 − 上除 f ′ 不存在外 满足罗尔定理 ( ) 0. [-2 2] 使 f ′ x = 但在区间 ， 内找不到一点能 ; 0, 0 1 , (0,1] ⎩⎨⎧ = − ∈ = xx x y y = x, x ∈[0,1]. 又例如
江画工太猩院 例证明方程x3-5x+1=0有且仅有一个小于 1的正实根. 证设∫(x)=x3-5x+,则∫(x)在,连续, 且f(0)=1f(1)=3.由零点定理 日x0∈(,1,使f(x)=0.即为方程的小于1的正实根 设另有x1∈(0,1,x≠x1,使f(x)=0 f(x)在xn,x1之间满足罗尔定理的条件, ∴至少存在一个(在x,x1之间使得∫(6)=0. 但∫(x)=5(x2-1)<0(x∈(0,1)矛盾,;x为唯一实根
江西理工大学理学院 例1 1 . 5 1 0 5 的正实根 证明方程 x − x + = 有且仅有一个小于 证 ( ) 5 1, 5 设 f x = x − x + 则 f (x)在[0,1]连续, 且 f (0) = 1, f (1) = −3. 由零点定理 (0,1), ( ) 0. ∃ x0 ∈ 使 f x0 = 即为方程的小于1的正实根. (0,1), , 1 1 0 设另有 x ∈ x ≠ x ( ) 0. 使 f x1 = ( ) , , Q f x 在 x0 x1 之间满足罗尔定理的条 件 ∴至少存在一个 ξ (在 x0 , x1 之间),使得 f ′(ξ) = 0. ( ) 5( 1) 4 但 f ′ x = x − < 0, (x ∈(0,1)) 矛盾, . ∴ x0为唯一实根
江画工太猩院 二、拉格朗日( Lagrange)中值定理 拉格朗日( Lagrange)中值定理如果函数八在 闭区间|nb上连续在开区间(nb内可导那末在 (a,b)内至少有一点ξa<ξ<b,使等式 f(b)-f(a)=f(2)(b-a)成立 注意:与罗尔定理相比条件中去掉了∫(a)=f(b) 结论亦可写成0)-(-ri b
江西理工大学理学院 二、拉格朗日(Lagrange)中值定理 拉格朗日（Lagrange）中值定理 如果函数 f(x)在 闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,那末在 (a,b)内至少有一点ξ(a < ξ < b)，使等式 ( ) ( ) ( )( ) ' f b − f a = f ξ b − a 成立. (1) (2) 注意 :与罗尔定理相比条件中 去掉了 f (a) = f (b). ( ). ( ) ( ) = ′ ξ − − f b a f b f a 结论亦可写成
江画工太猩院 几何解释: C y=f∫(x) B 在曲线弧AB上至少有 点C,在该点处的切 D 线平行于弦AB. 0 式 证分析:条件中与罗尔定理相差f(a)=f(b) 弦4B方程为y=f(a)+ ∫(b)-∫(a) x-a 曲线f(x)减去弦AB 所得曲线a,b两端点的函数值相等
江西理工大学理学院 o a ξ1 x ξ 2 b x y y = f (x) A B C N D M 几何解释: . , AB C AB 线平行于弦 一点 在该点处的切 在曲线弧 上至少有 证 分析: 条件中与罗尔定理相差 f (a) = f (b). 弦AB方程为 ( ). ( ) ( ) ( ) x a b a f b f a y f a − −− = + 曲线 f (x) 减去弦 AB, 所得曲线 a, b两端点的函数值相等