例1.求过三点M1(2,-1,4),M2(-1,3,-2),M3(0,2,3) 的平面Π的方程 解：取该平面的法向量为 i=MM2×MM3 M3 =-34 -6 -23-1 =(14,9,-1) 又M1∈Ⅱ，利用点法式得平面Ⅱ的方程 14(x-2)+9(y+1)-(z-4)=0 即 14x+9y-2-15=0 下页返回结束
i j k = 例1.求过三点 , 又M1 = (14, 9, −1) 即 M1 M2 M3 解: 取该平面 的法向量为 的平面 的方程. 利用点法式得平面 的方程 − 3 4 − 6 − 2 3 −1 n n = M1M2 M1M3 机动 目录 上页 下页 返回 结束
*说明：此平面的三点式方程也可写成 x-2y+12-4 -3 4 -6=0 (三向量共面) -2 3 -1 一般情况：过三点Mk(xk,yk,2k)(k=1,2,3) 的平面方程为 x-x y-y1 -21 x2-X1y2-122-1 =0 3-x1y3-y1 Z3-21
此平面的三点式方程也可写成 0 2 3 1 3 4 6 = − − − − x − 2 y +1 z − 4 一般情况 : 过三点 M (x , y ,z ) (k =1,2,3) k k k k 的平面方程为 *说明: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 （三向量共面）
*特别，当平面与三坐标轴的交点分别为 P(a,0,0),Q(0,b,0),R(0,0,c) 时，平面方程为 x+y+三-1(a,b,c≠0) a b c 此式称为平面的截距式方程， 分析：利用三点式 按第一行展开得(x-a)bc-y(-a)c+zab=0 即 bcx acy +abz abc C8 下页返回结球
*特别,当平面与三坐标轴的交点分别为 此式称为平面的截距式方程. + + =1 c z b y a x 时, (a,b,c 0) (x − a)bc − y(−a)c + zab = 0 bcx + acy +abz = abc 平面方程为 分析:利用三点式 按第一行展开得 即 = 0 x − a y z − a b 0 − a 0 c 机动 目录 上页 下页 返回 结束
三、平面的一般方程 设有三元一次方程 Ax+By+C:+D=0(A2+B2+C2≠0)② 任取一组满足上述方程的数x0,0,20,则 Ax0+By0+C20+D=0 以上两式相减，得平面的点法式方程 A(x-xo)+B(y-yo)+C(2-20)=0 显然方程②与此点法式方程等价，因此方程②的图形是 法向量为=(A,B,C)的平面，此方程称为平面的一般 方程
三、平面的一般方程 设有三元一次方程 以上两式相减 , 得平面的点法式方程 此方程称为平面的一般 Ax + By +Cz + D = 0 任取一组满足上述方程的数 , , , 0 0 0 x y z 则 0 Ax0 + B y0 + C z0 + D = 显然方程②与此点法式方程等价, ( 0) 2 2 2 A + B + C ② n = (A,B,C) 的平面, 因此方程②的图形是 法向量为 方程. 机动 目录 上页 下页 返回 结束