《高等数学》教学大纲 (供医学影像学本科专业使用) 前言 本大纲是根据医学影像学专业人才培养方案的目标制订的，是对《高等数学》 教学提出的基本要求。 本课程教学目的是通过本课程的学习，要使学生获得：函数与极限、一元函 数微积分学、向量代数与空间解析几何、多元函数微积分学、无穷级数（包括傅 叶级数)、 数分方程等方面的基 本概念 基个理论和基个运算技能，培养学 具有比较熟练的运算能力、抽象思维和形象思维能力、逻辑推理能力、空间想象 能力、自学能力，正确领会一些重要的数学思想方法，使学生受到数学分析的基 本概念、理论、方法解决几何、物理及其它实际问题的初步训练，以提高抽象概 括问题的能力和应用数学知识解决实际问题的能力，同时为学习后继课程和知识 的自我更新奠定必要的基础 一、 学时分配表 章 内容 理论学时习题学时总学时 第一章函数与极限 14 4 18 第二章 导数与微分 10 2 12 第三章 微分中值定理与导数应用 12 2 14 第四章 不定积分 8 4 12 第五章 定积分 10 2 12 第六章 定积分的应用 8 2 10 第七章 微分方程 12 2 14 第八章向量代数与空间解析几何12 2 14 第九章 多元函数微分法及其应用 12 2 14 第十章 二重积分 8 2 10 机动 6 0 6 总学时 112 24 136 二、教学内容及要求 第一直 函数与极限 1,理解函数、初等函数的概念，会求函数的定义域、表达式及函数值。会 求分段函数的定义域、函数值，并会作出简单的分段函数图像
2.理解和掌握函数的单调性、奇偶性、有养性和周期性，会判断所给函数 的类别。 3.了解函数y=f(x)与其反函数y=(x)之间的关系（定义域、值域、图 象)，会求单调函数的反函数。了解隐函数的概念。 4.理解和掌握函数的四则运算与复合运算，熟练掌握复合函数的复合过程。 5.熟悉基本初等函数的性质及其图形 6.会建立简单实际问题的函数关系式。 7.理解数列极限、函数极限的概念（对极限的N、.δ定义可在学习过程 对于给出求N或δ不作过高的要求。 质，了解函效左极限与右极限的概念，会求函数在一点处的左极限与右极限。理一 中逐步加深理解， 解函数在一点处极限存在的充分必要条件。 8.掌握极限的四则运算法则。 9.理解无穷小量、无穷大量的概今.堂据无穷小量的性质、无穷小量与开 穷大量的关系，理解无穷小与极限的关系。会进行无穷小量阶的比较（高阶、低 阶、同阶和 会运 用等价无穷小量代换求极限 10.理解极限存在的夹逼准则，了解单调有界准则，会用两个重要极限求极 限。 11.理解函数在一点连续和在一个区间上连续的概念，了解间断点的概念， 并会判别间断点的类型 12.了解闭区间上连续函数的性质，会运用介值定理与零点定理推证一些简 单命题。 13.理解初等函数在其定义区间上连续，并会利用连续性求极限。 第二章导数与微分 1.理解导数的概念及其几何意义，会用定义求函数在一点处的导数：了解 左右导数的概 以及可导性 续性的关 2.会求曲线 一点处的切线方程与法线方程。 3.熟练学握基本初等函数的导数基本公式、四则运算法则以及复合函数的 求导方法，会求反函数的导数。 4.掌握隐函数的求导法、对数求导法以及由参数方程所确定的函数的求导 方法。会求隐函数、 方程所确定的函数的一阶 二阶导数 了解高阶导数的概念，会求简单函数的阶导数，掌握初等函数一阶、 二阶导数的求法： 6.理解函数的微分概念，掌握微分法则，了解可微与可导的关系，会求函 数的一阶微分。 7.了解一阶微分形式的不变性，了解微分在近似计算中的应用。 第三章中值定理及导数的应用 1.理解罗尔(Rolle))定理和拉格朗日(Lagrange)中值定理，了解柯西(Cauchy) 中值定理和泰物(Taylor)定理：会用罗尔定理证明方程根的存在性：会用拉格朗 日中值定理证明简单的不等式和等式
2.掌握用洛必达(LHospital)法则求“0/0"、“o/∞”型未定式的极限方法， 会用洛必达法则求“0Xo”、“-”、“1”、0和，型未定式的极限 3.掌握利用导数判定函数的单调性的方法，会利用函数的增减性证明简单 的不等式。 4.理解函数极值的概念，掌握求函数的极值（必要性和两个充分条件）和 最大（小）值的方法，并且会解简单的应用问题。 5.会判定曲线的凹凸性，会求曲线的拐点。 6.会描绘简单函数的图形 7,了解有向弧与弧微分的概念。了解曲率和曲率半径的概念并会计算曲率 和曲率半径。 8.了解求方程近似解的二分法和切线法。 第四章不定积分 1.理解原函数与不定积分概念，掌握不定积分性质，了解原函数存在定理。 2.熟练学 个足 积分的基本公式 3.熟练掌握不定积分的第一换元法，掌握第二换元法（限于三角代换与简 单的根式代换)。 4.熟练掌握不定积分的分部积分法。 5.会求简单有理函数、三角函数有理式及简单无理函数的不定积分。 第五章定积分 1.理解定积分的概念与几何意义，了解可积的条件。掌握定积分的基本性 质。 2.理解变上限的定积分是变上限的函数，掌握对变上限定积分求导数的方 法。 3熟练掌屋牛顿一莱布尼茨公式。 4.掌握定积分的换元积分法与分部积分 5.了解定积分的近似计算法（矩形法、 梯形法、地物线法) 6.理解无穷限的反常积分的概念，掌握其计算方法：了解无界函数的反常 积分的概念及反常积分的换元法和分部积分法。 第六章定积分的应用 1.掌握定积分的元素法 2.掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的血积、平面曲 线的弧长、旋转体的体积及侧血积、平行截面面积为已知的立体体积、变力 作功、引力、压力及函数的平均值等)。 第七章微分方程 1.了解微分方程、解、阶、通解、初始条件和特解等概念
2.掌握变量可分离的方程及一阶线性方程的解法。会解齐次方程和伯努利 (Bernoulli方程，了解用变量代换求方程的思想 3.会用降阶法解下列方程：y=(,y”=f(x,y')和”=f,y')。 4.理解二阶线性微分方程解的结构。 5.掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并了解高阶常系数齐次线性微 分方程的解法。 6.会求自由项形如P(x)六、e(Ac0s血+Bsin)的二阶常系数非齐次线 性微分方程的特解。 会资分方单的儿有和物程 了解微分方程的幂级数解法及勒让德(Legendre))函数。 第八章向量代数与空间解析几何 1.理解向量的概念，掌握向量的坐标表示法，会求单位向量、方向数，方 向余弦、向量在坐标轴上的投影，以及用坐标表达式进行向量运算的方法。 2.会计算二阶、三阶行列式。 3.掌握向量的线性运算、向量的数量积与向量积的计算方法，了解向量的 混合积。掌握二向量平行、垂直的条件 .掌握平面的点法式方程、 一般式方程、截距式方程及其求法：会判定两 平面垂直、平行：会求点到平面的距离。 5.掌握直线的一般式方程，对称式方程、参数式方程及其求法：会判定两 直线平行、垂直：会判定直线与平面间的关系（垂直、平行、直线在平面上）， 会利用平面、直线的相互关系解决有关问题。 6.了解空间曲线的参数方程和一般方程：了解空间曲线在坐标平面上的投 能，并会求其方程。 7,理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面（球面、母线平行于坐标轴的 柱面、旋转抛物血、圆锥面和椭球面)的方程及其图形，会求以坐标轴为旋转轴 的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。 第九章多元函数微分法及其应用 1.理解多元函数的概念，了解二元函数的儿何意义及二元函数的极限与连 续概念（对计算不作要求）。会求二元函数的定义域，了解有界闭区域上连续函 数的性质。 2.理解多元函数偏导数的概念，竿握多元函数的一、二阶偏导数计算方法。 3.掌握多元复合函数一阶偏导数的求法，会求多元复合函数的二阶偏导数。 4.会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数。 5,理解全微分的概念 了解全微分存在的必要条件与充分条件，会求全微 分：了解全微分形式的不变性， 了解全微分在近似计算中的应用。 6.了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它门的万
程。 7.了解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法。 8.理解多元函数极值和条件极值的概念，学握多元函数极值存在的必要条 件，了解 元函数极值存在的充分条件，会求 二元函 的极值，会用拉格 乘 数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值并会解决一些简单的应用 问题。 *9.了解二元函数的二阶泰勒公式。 第十章重积分 1.理解二重积分概念，了解二重积分的性质 2.掌握二重积分（直角坐标、极坐标）的计算方法。 3.会用二重积分求一些几何量与物理量（平面图形的面积、体积、曲面面 积、质量、重心、转动惯量等)。 三、教材与教学参考书 教材： 高等数学》（第六版）上、下册，同济大学数学系主编，高等教育出版社 参考书 1,《微积分》上、下册，同济大学应用数学系编，高等教有出版社。 2.《工科数学分析基础》上、下册，马知恩王绵森主编，高等教育出版社。 3.《高等数学》上、下册，清华大学盛祥耀等编，高等教育出版社。 4.《高等数学释疑解难》工科数学课程教学指导委员会编，高等教育出版社。 5.《高等数学例题与习题》同济大学高等数学教研室编，同济大学出版社