第二节计算定积分的一般方法一微积分基本定理主要内容：问题的提出L微积分的基本定理三、定积分的换元积分法四、定积分的分部积分法
计算定积分的一般方法 —微积分基本定理 第二节 主要内容： 一、问题的提出 二、微积分的基本定理 三、定积分的换元积分法 四、定积分的分部积分法
问题的提出积分学中要解决两个问题：不定积分问题一、原函数的求解;解决面积、体积二、 定积分计算做功、利润等实际问题1Zf(5)Ar)lim如何计算定积分？F(t)dt三1-→0i=1定义很复杂，直接计算很困难.需要转换新的思路
一、问题的提出 积分学中要解决两个问题： 一、原函数的求解; 二、定积分计算. 不定积分问题 解决面积、体积、 做功、利润等实际问 题 如何计算定积分？ 定义很复杂，直接计算很困难.需要 转换新的思路. ( )d b a f t t 0 1 lim ( ) n i i i f x → = =
变速直线运动中位置函数与速度函数的联系设某物体作直线运动，已知速度v=v(t)是时间间隔[T,T,]上t的一个连续函数，且v(t)≥0,求物体在这段时间内所经过的路程变速直线运动中路程为v(t)dtT另一方面这段路程可表示为 s(T)一S(Tv(t)dt = s(T)-s(T)= s(t), 其中 s'(t)= v(t) .2
变速直线运动中位置函数与速度函数的联系 变速直线运动中路程为 d 2 1 ( ) T T v t t 设某物体作直线运动，已知速度v = v(t)是时 间间隔 1 2 [ , ] T T 上t的一个连续函数，且v(t) 0， 求物体在这段时间内所经过的路程. 另一方面这段路程可表示为 2 1 s s ( ) ( ) T T − 2 1 2 1 ( ) ( ) ( ) T T = − v t dt s T s T 其中 s t v t ( ) ( ) . = 2 1 ( ) , T T = s t
T2?(t)dt = s(T)-s(T) = s(t)/, 其中 s'(t)=v(t) .TTis(t)是被积函数v(t)的原函数D大胆猜想f(x)dx = F(b)-F(a),F(x)是被积函数f(x)的原函数巧合还是真理？著名的生顿-莱布尼茨定理
2 1 2 1 ( ) ( ) ( ) T T v t dt s T s T = − 其中 s t v t ( ) ( ) . = 2 1 ( ) , T T = s t s t v t ( ) ( ) . 是被积函数 的原函数 巧合还是真理？ ( ) ( ) ( ), b a f x dx F b F a = − 大胆猜想 F x f x ( ) ( ) . 是被积函数 的原函数 著名的牛顿-莱布尼茨定理
引入下面的概念之后，就可将积分和微分结合起来，用不定积分+函数代换简单地解决了比较复杂的求定积分的问题
引入下面的概念之后，就可将积分和微分 结合起来，用不定积分+函数代换简单地解 决了比较复杂的求定积分的问题