微积分基本定理二、变限定积分概念设f(x)在[a,b]上可积,x E[a,b],由积分d(b) = f' f(t)dt@(x) = ( f(t)dt,)x E[a,b]所定义的函数Φ(x)称为变上限定积分y(a) = ( f(t)dt同理,由积分y(x)=[f(t)dt)x E[a,b]所定义的函数(x)称为变下限定积分变上限积分、变下限积分统称为变限积分借助求函数值来解决
( ) ( ) , [ , ( ) , ] b x x f t t x a b x 同理 由积分 = 所定义的函数 d 称为变下限定积分. 二、微积分基本定理 ( ) ( ) , [ , ( ) [ , ] , [ , ] ) ] , ( x a x f t f x a b x a b x t x a b = 设 在 上可积 由积分 所定义的函数 称为 d 变上限定积分. x 变限定积分概念 变上限积分、变下限积分统称为变限积分. x x x 上 下 ( ) ( ) b a b f t t = d ( ) ( )d b a a f t t = 借助求函数值来解决
积分上限函数的性质Φ(a) =f(t)dt = 0f(t)dt：函数f(x)的定积分(b)
积分上限函数的性质： ( ) ( ) a a a = f t t d ( ) ( ) . b a b = f t t d 函数f (x)的定积分 = 0
定理 若函数f(x)在[a,b]上连续,则由变上限定积分定义的函数D(x)= [" f(t)dt,x e[a,b]Φ(x)是f(x)的原函数df(t)dt = f(x) .在[a,b]上求导,且@(x)dx提示与分析：用导数的定义来证明Φ(x + △x)-Φ(x)@'(x) = lim△x△x→0证 设x为[a,b]上任意一点,△x±0且x+△x[a,b],积分区间的Φ(x+△x)-Φ(x)@'(x) = lim可加性Ax△x-→>0x+Arf(t)dt)-f(t)dtd= limArx-→0
定理 若函数 在 上连续 则由变上限定积分定 义的函数 d d 在 上求导 且 d d ( ) [ , ] , ( ) ( ) , [ , ] [ , ] , ( ) ( ) ( ) . x a x a f x a b x f t t x a b a b f t t x x f x = = = ( ) ( ) x f x 是 的原函数 提示与分析：用导数的定义来证明. Δ Δ 0 Δ ( ) ( ) ( ) lim x x x x x x → + − = 证 设x a b x x x a b 为[ , ] , 0 [ , ], 上任意一点 + 且 Δ Δ 0 Δ ( ) ( ) ( ) lim x x x x x x → + − = Δ d d 0 ( ) ( ) lim x x x a a x f t t f t t x + → − = 积分区间的 可加性