二、曲面的面积 设光滑曲面S:z=f(x,y),(x,y)∈D M 则面积A可看成曲面上各点M(x,y,z) 处小切平面的面积dA无限积累而成 设它在D上的投影为dσ,则 d do= coS yd A cosy 1+f2(xy)+f2(x d A da=1+f(x,y)+fV(x,y) do M、do (称为面积元素) HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
M d A z d n 二、曲面的面积 x y z S o 设光滑曲面 则面积 A 可看成曲面上各点 M (x, y,z) 处小切平面的面积 d A 无限积累而成. 设它在 D 上的投影为 d , d = cos d A 1 ( , ) ( , ) 1 cos 2 2 f x y f x y + x + y = d 1 ( , ) ( , ) d 2 2 A f x y f x y = + x + y (称为面积元素) 则 M n d 机动 目录 上页 下页 返回 结束
故有曲面面积公式 D√1+2(xy)+(xy)d 即 0z az 1+ +(-)dxd D ax 若光滑曲面方程为x=g(y2),(y)∈Dy,则有 1+ Cx、2,/Ox d ydz D y2 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
故有曲面面积公式 1 ( , ) ( , ) d 2 2 = + + D x y A f x y f x y x y y z x z A D 1 ( ) ( ) d d 2 2 + = + 若光滑曲面方程为 ( , ) , ( , ) , Dy z x = g y z y z 则有 Dy z 即 机动 目录 上页 下页 返回 结束
若光滑曲面方程为y=h(=,x),(,x)∈Dx,则有 A=JD 1+( ay dzdx 若光滑曲面方程为隐式F(x,y,z)=0,且F2≠0,则 F az (x,y)∈D ax F a F F-+F,.+F A dxd y D F HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
z x x y z y A 1 ( ) ( ) d d 2 2 + = + 若光滑曲面方程为 ( , ) , ( , ) , Dz x y = h z x z x 若光滑曲面方程为隐式 则 则有 x y z y z x x y D F F y z F F x z = − = − , , ( , ) A = Dx y Dz x z x y z F F F F 2 2 2 + + 且 dxd y 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例3.计算双曲抛物面z=xy被柱面x2+y2=R2所截 出的面积A 解:曲面在xy面上投影为D:x2+y2≤R2,则 A dxd D ∫Jn 1+x+ydxd R dO、1+r2rdr 0 z[(1+R2)2-1)] HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例3. 计算双曲抛物面 被柱面 所截 解: 曲面在 xoy 面上投影为 : , 2 2 2 D x + y R 则 A z z x y D x y 1 d d 2 2 = + + x y x y D 1 d d 2 2 = + + r r r R d 1 d 0 2 2 0 = + [(1 ) 1)] 3 2 2 3 2 = + R − 出的面积 A . 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例4.计算半径为a的球的表面积 解:方法1利用球坐标方程 asin(od e 设球面方程为r=a d 球面面积元素为 asing da=a sin dodo ad o S2c2兀 丌 A 0 de sin d g 0 =4a 方法2利用直角坐标方程.(见书P09) HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例4. 计算半径为 a 的球的表面积. 解: 设球面方程为 r = a 球面面积元素为 d sin d d 2 A = a = 0 2 0 2 A a d sin d 2 = 4 a asin ad 方法2 利用直角坐标方程. (见书 P109) 方法1 利用球坐标方程. a x y z o d asind 机动 目录 上页 下页 返回 结束