因为实数项级数∑a和∑b收敛的必要条件是 必 要 lim a=0和limb=0 条 n→0 件 所以复数项级数∑a1收敛的必要条件是iman=0 重要结论:Iman≠0→级数∑a发散 启示:判别级数的敛散性时,可先考察 lima0 iman≠0,级数发散; 如果 iman=0,应进一步判断
= =1 n 1 n n 因为实数项级数 an和 b 收敛的必要条件是 lim = 0 lim = 0 . → → n n n n a 和 b lim = 0 → n n 必 要 条 件 重要结论: lim 0 . 1 级数 发散 = → n n n n 所以复数项级数 收敛的必要条件是 n=1 n 启示: 判别级数的敛散性时, 可先考察 lim = 0 → n n ? → lim 0, n n 如果 级数发散; 应进一步判断. lim = 0, → n n
3.绝对收敛与条件收敛 定理三如果∑an收敛那末∑an也收敛 H=1 n-=1 且不等式∑ans∑an成立 注意∑a1的各项都是非负的实数, 应用正项级数的审敛法则判定
3. 绝对收敛与条件收敛 , . 1 1 如 果 收 敛 那 末 也收敛 = = n n n n . 1 1 且不等式 成 立 = = n n n n 注意 , 1 的各项都是非负的实数 n= n 应用正项级数的审敛法则判定. 定理三
证由于∑an=∑an+b2 而{ans√an2+b2,bn≤Van2+b2 根据实数项级数的比较准则,知 ∑mn及∑h都收敛, n=1 故∑q及∑b也都收敛 n=」
证 由于 , 1 2 2 1 = = = + n n n n n a b 而 , , 2 2 2 2 an an + bn bn an + bn 根据实数项级数的比较准则, 知 , 1 1 及 都收敛 = = n n n an b . 1 1 故 及 也都收敛 = = n n n an b
由定理二可得∑qn是收敛的 n=1 又由∑as∑a k k 可知Im∑asim∑ak 或∑as∑ak 证毕 k=1
由定理二可得 . 1 是收敛的 n= n , 1 1 = = n k k n k 又由 k = → = → n k k n n k k n 1 1 可知 lim lim . [证毕] 1 1 = = k k k 或 k
定义 如果∑an收敛那末称级数∑o为绝对收敛 n 非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛级数 由于{an≤√+bb≤√a2+b2 ∑α绝对收敛台∑a与∑b绝对收敛 H=1 n=1 n
非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛级数. 由于 ≤ 2 2 an an bn + 如果 收敛, 那末称级数 为绝对收敛. n=1 n n=1 n 定义 ≤ 2 2 bn an bn + . 1 1 1 绝对收敛 与 绝对收敛 = = = n n n n n n a b