§1可微性与偏导数 本节首先讨论二元函数的可微性,这是多 元函数微分学最基本的概念.然后给出对单 个自变量的变化率,即偏导数,偏导数无论 在理论上或在应用上都起看关键性的作用 可微性与全微分 偏导数 三、可微性条件 可微性的几何意义及应用 前页)看后页)(级回
前页 后页 返回 §1 可微性与偏导数 本节首先讨论二元函数的可微性, 这是多 元函数微分学最基本的概念. 然后给出对单 个自变量的变化率, 即偏导数. 偏导数无论 在理论上或在应用上都起着关键性的作用. 四、可微性的几何意义及应用 返回 一、可微性与全微分 二、偏导数 三、可微性条件
、可微性与全微分 定义1设函数z=f(x,y)在某邻域U(P)内有定 义对于P(x,y)=(x+△x,+△)∈U(P,若∫在 P的全增量Az可表示为: △Z=f(x0+△x,y0+△y)-f(x0,y0) A△x+B△y+0(), 其中A,B是仅与点P有关的常数,p=√△x2+△y2 0(p)是p的高阶无穷小量,则称∫在点P可微 并称(1)式中关于△x,4y的线性表达式A△x+B△y 前页)后页)返回
前页 后页 返回 一、可微性与全微分 定义 1 设函数 0 z f x y U P = ( , ) ( ) 在某邻域 内有定 0 0 0 义.对于 P x y x x y y U P ( , ) ( , ) ( ), = + + 若 f 在 P0 的全增量 z 可表示为: 0 0 0 0 ( , ) ( , ) ( ), z f x x y y f x y A x B y o = + + − = + + (1) P0 2 2 其中A,B是仅与点 有关的常数 = + x y , , o( ) 是 的高阶无穷小量 P0 , 则称 f 在点 可微. 并称 (1) 式中关于 x y A x B y , 的线性表达式 +
为∫在P的全微分,记作 dk|n=df(x0,y0)=A△x+B△y. 由(1),(2)可见,当|△x|Ay|充分小时,全微分d 可作为全增量4z的近似值,于是有近似公式: f(x,y)≈f(x0,y)+A(x-x0)+B(y-y).③3) 在使用上,有时也把(1)式写成如下形式: △乙=A△x+B△y+a△x+B△y, 这里ima=imB=0 (△x,△y)→>(0,0) (△x,△y)→>(0,0) 前页)后页)返回
前页 后页 返回 由 (1), (2) 可见,当 | |, | | x y 充分小时, 全微分 dz ( , ) (0,0) ( , ) (0,0) lim lim 0. x y x y → → 这里 = = z A x B y x y = + + + , (4) 0 d | d ( , ) . P 0 0 z f x y A x B y = = + (2) 0 为 f P 在 的全微分, 记作 可作为全增量 z 的近似值, 于是有近似公式: 在使用上, 有时也把 (1) 式写成如下形式： 0 0 0 0 f x y f x y A x x B y y ( , ) ( , ) ( ) ( ). + − + − (3)
例1考察∫(x,y)=xy在任一点(xy)的可微性 解∫在点(x0,y)处的全增量为 △f(x0,y0)=(x+△x)(y+△y)-xy =y0△x+x0△y+△x△p 由△x△y|△x1△yP→>0(0→0, 因此Δx△y=0(p).从而f在(x,)可微,且 df=y△x+x0△y 前页)后页)返回
前页 后页 返回 例1 考察 0 0 f x y xy x y ( , ) ( , ) . = 在任一点 的可微性 解 f 在点 0 0 ( , ) x y 处的全增量为 0 0 0 0 0 0 f x y x x y y x y ( , ) ( )( ) = + + − 0 0 = + + y x x y x y . 由于 | | | | | | 0 ( 0), x y x y = → → 0 0 因此 从而 在 可微 且 x y o f x y = ( ). ( , ) , d . 0 0 f y x x y = +
二、偏导数 由一元函数微分学知道:若f(x)在x0可微,则 f(x0+△x)-f(x)=A△x+0(△x,其中A=f(x) 现在来讨论:当二元函数∫(x,y)在点(x0,y)可微 时,(1)式中的常数A,B应取怎样的值? 为此在(4)式中先令△y=0(△x≠0,这时得到f关 于x的偏增量为 △,z=A△x+a△x或 A+a △y 前页)后页)返回
前页 后页 返回 二、偏导数 由一元函数微分学知道: 若 0 f x x ( ) , 在 可微 则 0 0 f x x f x A x o x ( ) ( ) ( ), + − = + 其中 0 A f x = ( ). f x y ( , ) 0 0 现在来讨论: 当二元函数 在点 ( , ) x y 可微 时, (1) 式中的常数 A, B 应取怎样的值？ 为此在(4)式中先令 y x f = 0 ( 0), 这时得到 关 于 的偏增量为 x . x x z z A x x A x = + = + 或