三、典型例题 例1下列数列是否收敛如果收敛,求出其极限 (1)an=(1+-)e";(2)a =ncos un 解(因为n=(1+)en=(1+)eos+isin 所以an=(1+-)cos +-sin n 而 lima=1, limb=0
下列数列是否收敛, 如果收敛, 求出其极限. )sin . 1 (1 n n bn , = + π )cos 1 (1 n n 所以an = + 而 lim = 1 , lim = 0 → → n n n n a b 解 三、典型例题 例1 )(cos sin ), 1 (1 n i n n + = + (2) ncosin . ; n = n π i n e n α ) 1 (1) = (1+ n π i n e n α ) 1 (1)因 为 = (1+
所以数列an=(1+)e收敛, 且 lima=1 解(2)由于an= niosh= nosh n 当n→>∞时,an>∞, 所以数列发散
解 (2) 由于n = ncosin 当 n → 时, 所以数列发散. , 1 所以数列 (1 ) 收敛 π i n αn = + e n lim = 1 . → n n 且 = ncosh n, → , n
例2级数∑1+“是否收敛? n=1 解级数满足必要条件,即Im1+=0 但∑+=∑+(y (1+++…)-i(1-+-…) 23 23 ∑+∑(1” H=1 H=1 因为级数∑发散,虽∑(1”收敛, =1 =1 原级数仍发散 Note:级数收敛与数列收敛不同
例2 1 1 2 1 级数 是否收敛？ = + + n n n i 解 级数满足必要条件, 0, 1 lim 2 1 = + + → n i n n 即 但 = = + + − = + 1 1 2 1 1 1 ( 1) n n n n n i n i ) 3 1 2 1 ) (1 3 1 2 1 = (1+ + + − i − + − , 1 1 因为级数 发散 n= n 原级数仍发散. , 1 ( 1) 1 虽 收敛 = − n n n = = 1 1 n n = + − 1 1 ( 1) n n n i Note: 级数收敛与数列收敛不同
例3级数∑(是否绝对收敛? 解因E为(8)y1=8 n! n 所以由正项级数的比值判别法知: ∑,收敛, 故原级数收敛,且为绝对收敛
! (8 ) 1 级数 是否绝对收敛？ n= n n i 例3 , ! 8 1 收敛 n= n n 故原级数收敛, 且为绝对收敛. , ! 8 ! (8 ) n n i n n 因为 = 所以由正项级数的比值判别法知: 解
例4级数∑ (-1) +是否绝对收敛? 解因为∑收敛;∑世收敛, n=1 故原级数收敛 但∑(- 为条件收敛, 所以原级数非绝对收敛
; ( 1) 1 因为 收敛 = − n n n , 2 1 1 也收敛 n= n 故原级数收敛. , ( 1) 1 但 为条件收敛 = − n n n 所以原级数非绝对收敛. ] 2 ( 1) 1 [ 1 级数 是否绝对收敛？ = + − n n n i n 例4 解