第四章随机变量的数字特征 ●§41数学期望 §4.2方差 §43协方差及相关系数 §44矩、协方差矩阵 2/92
2/92 第四章 随机变量的数字特征 §4.1 数学期望 §4.2 方差 §4.3 协方差及相关系数 §4.4 矩、协方差矩阵
§4.1数学期望 ●概率分布虽然能够完整的描述随机变量的统计特征,但有 时对于我们关系的问题而言却不直观。如: 研究水稻品种时,常关注的是稻穗的平均稻谷粒数,这从稻谷粒数 的分布函数是不能直接看出来的,而且在实际生产中可能只关心该 平均值,甚至不关心分布函数。 篮球队上场比赛的运动员身高是一随机变量,常关心平均身高 研究信道上的随机噪声时,出于热噪声功率对系统可能产生较大影 响的考虑,对噪声的均值很关心,而且还关心噪声电压的大小与噪 声电压的均值的偏离程度。这两个量在实际系统中往往比知道随机 变量的分布更重要 本章重点讨论数学期望,方差,相关系数,矩等 3/92
3/92 §4.1 数学期望 概率分布虽然能够完整的描述随机变量的统计特征，但有 时对于我们关系的问题而言却不直观。如： ⚫ 研究水稻品种时，常关注的是稻穗的平均稻谷粒数，这从稻谷粒数 的分布函数是不能直接看出来的，而且在实际生产中可能只关心该 平均值，甚至不关心分布函数。 ⚫ 一篮球队上场比赛的运动员身高是一随机变量，常关心平均身高 ⚫ 研究信道上的随机噪声时，出于热噪声功率对系统可能产生较大影 响的考虑，对噪声的均值很关心，而且还关心噪声电压的大小与噪 声电压的均值的偏离程度。这两个量在实际系统中往往比知道随机 变量的分布更重要 本章重点讨论数学期望，方差，相关系数，矩等
§4.1数学期望 实例:一射手进行打靶练习,规定 ●打中区域得0分 e e ●打中区域2得1分 打中区域2得2分 ●以X记每次射击得分数,则X的分布律如下: X012 Pk Po PI p2 4/92
4/92 §4.1 数学期望 实例：一射手进行打靶练习，规定 ⚫ 打中区域e0得0分 ⚫ 打中区域e1得1分 ⚫ 打中区域e2得2分 以X记每次射击得分数，则X的分布律如下： X 0 1 2 pk p0 p1 p2 e2 e1 e0
§41数学期望 考察每次射击的平均得分数? 射击N次,其中得0分有a0次,得1分有a1次,得2分有a2次 即N=a0+a1+a2 射击N次得分总和为ao×0+a1×1+a2×2 每次射击平均分数为a0×0+a1×1+a2×2N=∑k k=0 这是有限次实验的算术平均值,其中N是事件P{X=k的 频率。 °当N→∞时,N无限的接近一个稳定的常数p,即事件PX= 发生的概率 °也就是说,当N→∞时,算术平均值∑k→一个稳定的 常数值,就把该值称为随机变量x的皴学期望或均值 Expectation 5/92
5/92 §4.1 数学期望 考察每次射击的平均得分数？ ⚫ 射击N次，其中得0分有a0次，得1分有a1次，得2分有a2次 即N＝a0＋a1＋a2 ⚫ 射击N次得分总和为a0×0＋a1×1＋a2×2 ⚫ ∴每次射击平均分数为(a0×0＋a1×1＋a2×2)/N= ， 这是有限次实验的算术平均值，其中 是事件P{X=k}的 频率。 当N→∞时， 无限的接近一个稳定的常数pk，即事件P{X=k} 发生的概率 也就是说，当N→∞时，算术平均值 → 一个稳定的 常数值，就把该值称为随机变量X的数学期望或均值 Expectation = 2 k 0 k N a k N ak N ak = 2 k 0 k N a k = 2 k 0 kpk
§4.1数学期望 定义设离散型随机变量X的分布律为 PIX=xk=Pk, k=1, 2, ●。● 若级数∑xP绝对收敛,则称级数∑xD的和为随机变 量X的数学期望,记为E(X), 即EX)=∑xPk k=1 设连续型随机变量X的概率密度为fx),若积分[x(x)d 绝对收敛,则称积分|x(x的值为随机变量X的数学 期望,记为E(X), 即E(X)=xf(xx 6/92
6/92 §4.1 数学期望 定义 设离散型随机变量X的分布律为 P{X=xk }＝pk，k＝1,2,… ⚫ 若级数 绝对收敛，则称级数 的和为随机变 量X的数学期望，记为E(X)， 即E(X)＝ ⚫ 设连续型随机变量X的概率密度为f(x)，若积分 绝对收敛，则称积分 的值为随机变量X的数学 期望，记为E(X)， 即E(X)＝ k=1 k k x p k=1 xk pk k=1 k k x p − xf(x)dx − xf(x)dx − xf(x)dx